阅读与思考 集合中元素的个数第二课时 公开课

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1.1.2

集合间的基本关系

整体设计

教学分析

课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别. 三维目标

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点

教学重点:理解集合间包含与相等的含义. 教学难点:理解空集的含义. w W w . X k b 1.c O m

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生) 欲知谁正确,让我们一起来观察、研探. 思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈) 推进新课

新知探究

提出问题

(1)观察下面几个例子: ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};

②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合; ③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}. 你能发现两个集合间有什么关系吗？

(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？

(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论? (4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？

(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B. X k b 1 . c o m[来源学&科&网Z&X&X&K]新课标第一网系列资料

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(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系. (7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？

(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？

(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 活动：教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA). (3)实数中的“≤”类比集合中的. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论:当AB时,AB或A=B. (7)方程x2+1=0没有实数解. (8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠). (9)类比子集. 讨论结果：

(1)①集合A中的元素都在集合B中; ②集合A中的元素都在集合B中; ③集合C中的元素都在集合D中; ④集合E中的元素都在集合F中. 可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中. (2)例子①中AB,但有一个元素4∈B,且4A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同. (3)若AB,且BA,则A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.

x k b 1 . c o m图1-1-2-1(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示. 图1-1-2-2 图1-1-2-3(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解. (8)空集. 图1-1-2-4 新课标第一网系列资料

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(9)若AB,BC,则AC;若A应用示例

思路1 1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集. (1)则下列包含关系哪些成立？

AB,BA,AC,CA. (2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系. 活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点: (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图. 解：(1)包含关系成立的有:BA,CA. (2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示. B,BC,则AC. 图1-1-2-5 变式训练

课本P7练习3.

点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.

判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的[来源:Z,xx,k.Com]元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含. 2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论. 解：集合{a,b}的所有子集为,{a},{b},{a,b}.真子集为,{a},{b}. 变式训练

2007山东济宁一模,1

已知集合P={1,2},那么满足QP的集合Q的个数是(

) A.4

B.3

C.2

D.1 分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个, 又集合QP,所以集合Q有4个. 答案：A 点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？

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解：当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20; 当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为,{a},即子集的个数是2=21; 当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. ……X|k | B| 1 . c |O |m

集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集. 思路2 1.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BA,则实数m=_______. 活动：先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论. 解：∵BA,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1. 答案：1 点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证. 讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.

变式训练

x k b 1 . c o m已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围. 分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,则N=或N≠,要对集合N是否为空集分类讨论. 解：由题意得M={x|x>2}≠,则N=或N≠. 当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0; 111,又∵NM,∴∈M.∴>2. aaa111∴0

活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 答案：(1)的子集有:,即有1个子集; {a}的子集有:、{a},即{a}有2个子集; {a,b}的子集有:、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集; {a,b,c}的子集有:、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集. (2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集; 当n=1时,集合M有2=21个子集; 当n=2时,集合M有4=22个子集; 当n=3时,集合M有8=23个子集; 因此含有n个元素的集合M有2n个子集. w W w .x K b 1.c o M

变式训练

已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……(

) A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

分析:对集合A所含元素的个数分类讨论. A=或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个. 新课标第一网系列资料

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答案：D 点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. 知能训练

课本P7练习1、2. 【补充练习】

1.判断正误: (1)空集没有子集.

(

) (2)空集是任何一个集合的真子集.

(

) (3)任一集合必有两个或两个以上子集.

(

) (4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.

(

) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质. 解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错. 对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则xA时也必有xB. 2.集合A={x|-1

(

) A.无限集的真子集是有限集

B.任何一个集合必定有两个子集

C.自然数集是整数集的真子集http://www.xkb1.com

D.{1}是质数集的真子集

(2)以下五个式子中,错误的个数为

(

) ①{1}∈{0,1,2}

②{1,-3}={-3,1}

③{0,1,2}{1,0,2}

④∈{0,1,2}

⑤∈{0} A.5

B.2

C.3

D.4 (3)M={x|3

(

) A.aM

B.aM

C.{a}∈M

D.{a}M 分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确, 无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D. (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系. ①应是{1}{0,1,2},④应是{0,1,2},⑤应是{0}. 故错误的有①④⑤. (3)M={x|3

因3

(2)C

(3)D M. 新课标第一网系列资料

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4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}. 解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, 又x=4n=2·2n, 在x=2m中,m可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n中,2n只能是偶数. 故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成,则有B点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求. 5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足Q解：因P={x|x2+x-6=0}={2,-3}, 当a=0时,Q={x|ax+1=0}=,Q又当a≠0时,Q={x|ax+1=0}={综上所述,a=0或a=P成立. P,求a所取的一切值. A. 11111},要QP成立,则有=2或=-3,a=或a=. 3aaa211或a=. 32P. PB,求满足条件的点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q为空集的情况,而当Q=时,满足Q6.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使A集合P. 解：由A={x∈R|x2-3x+4=0}=, B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4}, 由APB知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为

{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}. 点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件. 7.设A={0,1},B={x|xA},则A与B应具有何种关系？

解：因A={0,1},B={x|xA}, 故x为,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故A∈B. 点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素. 8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若BA,求实数m的取值范围; (2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数; (3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围. 解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=满足BA. 当m+1≤2m-1即m≥2时,要使BA成立, 需m12m1,可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.

m15(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以,A的非空真子集个数为2上标8-2=254. (3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立. 则①若B≠即m+1>2m-1,得m<2时满足条件; 新课标第一网系列资料

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②若B≠,则要满足条件有:m12m1,m12m1,或解之,得m>4. m152m12综上有m<2或m>4. 点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用. 拓展提升

问题:已知AB,且AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A共有多少个？

活动：学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素. 思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A; 思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数. 解法一：因AB,AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足AB,有:,{0},{1},{2},{3},{4}, {0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个). 又满足AC的集合A有:,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4}, {0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个). 其中同时满足AB,AC的有8个:,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁. 解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个). 点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛. 课堂小结

本节课学习了: ①子集、真子集、空集、Venn图等概念; ②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; ③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 作业

课本P11习题1.1A组5. 设计感想

本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中, 要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式. 新课标第一网系列资料

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