习题2.3教学设计与反思

数学组公开课教案

课

题：二次函数与幂函数

授课班级：高二（2）

授课老师：张自凤

授课时间：2018/5/8

§2.6

二次函数与幂函数

最新考纲

1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．

2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题．

3.了解幂函数的概念．

14.结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x2x231考情考向分析

以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

的图象，了解它们的变化情况.

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常量．

(2)常见的5种幂函数的图像

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

定义域

值域

奇偶性

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

R

R

奇

R

[0，＋∞)

偶

R

R

奇

[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇非偶

{x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 奇

y＝x y＝x2

y＝x3

y＝x

12y＝x1

－

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图像和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图像

定义域

值域

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞) 4ac－b，＋∞

4a2－∞，4ac－b

4a2单调性

bb－∞，－上是减少的；

在x∈－∞，－上是增加的；在x∈

2a2ab－，＋∞上是增加的

在x∈2ab－，＋∞上是减少的

在x∈2a对称性

重要结论

1．幂函数的图像和性质

b函数的图像关于x＝－对称

2a(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．

(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．

(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．

a>0，a<0，2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. Δ<0Δ<0

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac－b2(1)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(

×

) 4a2(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(

×

) (3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(

√

) (4)函数y＝2x是幂函数．(

×

) (5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(

√

) (6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(

×

) 题组二

教材改编

122．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，，则k＋α等于(

) 2213A.

B．1

C.

D．2 22答案

C 12

k＝1，解析

由幂函数的定义，知21α.

＝k·2213∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 223．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内是减少的，则a的取值范围是(

) A．a≥3

C．a＜－3

答案

D 解析

函数f(x)＝x2＋4ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内是减少的可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，

∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D. 题组三

易错自纠

4．幂函数f(x)＝xa－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(

) A．3

B．4

C．5

D．6 答案

C 解析

因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，

f(x)＝x(a－5)2－22

B．a≤3 D．a≤－3 (a∈Z)为偶函数，

且在区间(0，＋∞)上是减函数，

所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，

又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.

题型一

幂函数的图像和性质

1．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(

)

A．d＞c＞b＞a

C．d＞c＞a＞b

答案

B 解析

由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B. 2.若(2m＋1)

>(m2＋m－1)

，则实数m的取值范围是

B．a＞b＞c＞d

D．a＞b＞d＞c

5－1－5－1

B.A.－∞，，＋∞

22C.(－1,2)

D.5－12，2



题型二

二次函数的图像和性质

命题点1

二次函数的图像

典例两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图像可能是(

)

答案

D 解析

函数f(x)图像的对称轴为x＝－baba，函数g(x)图像的对称轴为x＝－，显然－与－同号，故2a2b2a2b两个函数图像的对称轴应该在y轴的同侧．只有D满足．

命题点2

二次函数的单调性

典例函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数a的取值范围是(

) A．[－3,0)

C．[－2,0]

答案

D 解析

当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．

3－a当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，

2aa<0，由f(x)在[－1，＋∞)上是减少的知3－a

≤－1，2a解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．

命题点3

二次函数的最值

典例已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．

解

f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. (1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

3(2)当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；

8(3)当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. 3综上可知，a的值为或－3. 8命题点4

二次函数中的恒成立问题

典例

(1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．

B．(－∞，－3]

D．[－3,0]

答案

(－∞，－1) 解析

f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，

令g(x)＝x2－3x＋1－m，

要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上是减少的，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．

1－∞，

答案

2解析

2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．

当x＝0时，－3<0，成立；

31121111－－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，∴a<. 当x≠0时，a<2x36x221－∞，. 综上，实数a的取值范围是2思维升华解决二次函数图像与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．

(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．