小结教学内容

利用函数图像探究零点问题

教学内容解析：通过对零点问题的多级设计，实现知识的层层解析，思维的步步深入，方法的自然迁移．教学过程中，引导学生面对新问题时主动联想已解决问题运用的各种策略，通过观察、判断、分析、比较寻得新问题的解决方法．在问题的逐级递进中，让学生逐渐领悟解决该类问题常用的思想方法，并在此基础上优化方法，从而让学生活用知识，升华思想，提高能力．通过习题的训练，让学生学会联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”。

教学目标：1、让学生掌握解决零点问题的基本思路：函数图像．2、让学生体会利用函数图像解决零点问题时的原则．

教学重点：利用函数图像探究零点问题。

教学难点：如何引导学生联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找恰当的、最优的方法解决零点问题。

教学过程：

师：在新课标中，函数的零点是函数中的重要内容，也是高考考查的热点．它是函数、方程、不等式的一个知识交汇点，也是初等数学与高等数学的一个衔接点，蕴含着丰富的数学思想。本节课我们将通过具体问题的解决来体会利用函数图像探究零点问题的规律、方法。

练习：判断下列函数的零点个数

11、f(x)x

2师：这个函数有零点吗？

生2：有，可以利用函数图像判断。但是这个函数无法直接画图，可转化成看函数yxx与1函数y的图像交点个数。图像如下：

2x

师：利用函数图像能给零点问题的解决带来极大的方便，既函数的零点个数函数图像与x轴的交点个数，当函数图像不能直接画出时可转化为f(x)c型或者f(x)g(x)型看交点。

2x1‚x≤12、设函数f(x)，函数g(x)f(x)a

4(x1)(x2)‚ x1(1)当a=1时，g(x)有_________个零点。

(2)若函数g(x)有3个零点，则实数a的取值范围是_________．

师：请同学们说说这道题你用什么方法求解？

生1：两问都可以转化为函数f(x)的图像与直线y=a的交点个数。我先画出了函数f(x)的

图像，当a=1时画出直线y=1发现f(x)有2个零点.第二问通过上下平移直线y=a，发现当-1

图像如下：

师：通过以上练习我们体会到利用函数图像解决零点问题时画图是关键，要能画出所需函数的图像，当函数图像不能直接画出时可转化为f(x)c型或者f(x)g(x)型看交点。

2xa,x1例、设函数f(x)若函数f(x)有两个零点，则a的取值范围是________．

2x,x1师：这个函数图像是怎样的？当a变化时，函数f(x)的图像有何变化？

生：这个函数以x=1为分界线，当x>1时，函数f(x)有1个零点2，x1时函数f(x)不一定有零点。因为当a变化时y2xa的图像可沿y轴上下移动。

师：要满足题意x1时函数f(x)必须有一个零点，我们上下移动这段图像你发现了什么？

生1：我发现要想x1时函数f(x)有一个零点这段图像的最高点的值2-a必须大于等于0 师：只要2a0就一定有零点吗？

生2：不一定，伴随图像一起上移的还有一条渐近线y=-a，当y=-a在x轴以及上方时就没有零点了。所以还得保证-a<0.综合起来得到不等式组x2a0解得0a2。

a0生3：我发现要想满足题目条件，y2a的图像在x1时必须与x轴有交点，既方程2xa0的根小于等于1，就有loga21，解出即可。

生4：还可以这样做：函数y2a的图像在x1时与x轴有一个零点函数y2在xxx1时与y=a有一个交点。所以画出函数y2x在x1时的图像，然后平移直线y=a发现

当0a2时满足条件。

师：分析的非常好！这三位同学先用图像找到解决问题的关键点既“临界状态”，然后再借助于代数方法解出a的范围。在这个过程中首先画图要要精确才能注意到“临界状态”，既图像中的最值、与x轴的交点等等特殊点。这就是利用函数图像解决零点原则之一：画图要精确，注意“临界状态”。其次找到了“临界状态”并不能直接得出结果还要转化为代数式运算求解。这就是利用函数图像解决零点原则之二：数形结合重在结合，以形辅数找思路，以数助形运算求解。

2x1,x1变式1：设函数f(x)若函数f(x)有两个零点，则a的取值范围是ax,x1________．

2xa,x1变式2：设函数f(x)若函数f(x)有两个零点，则a的取值范围是ax,x1________．

2x1,xa提升练习：设函数f(x)，若函数f(x)有两个零点，则a的取值范围是2x,xa________．

师：请同学们思考参数a在函数中的作用是什么？

生1：函数f(x)分两段，x《a时y2x1,x>a时y=2-x，显然图像的分界线就是x=a，在x=a的左边是y21的图像，在x=a的右边是y=2-x的图像。

师：分界线不定如何画出分段函数图像？

生2：先分别作出两段函数在R上的图象，再通过分段点的左、右移动来取舍左、右两段函数的图象，进而确定满足条件的分段点的位置。

图像如下：

x

由图可知a的取值范围是0a2。

小结：本节课我们通过以上几道题体会到利用数形结合解决零点问题时的原则是：画图要精确，找准“临界状态”，以形辅数找思路以数助形求结果。

下面请同学们完成练习。

反馈练习：

1、在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝x+a与函数y＝lnx的图象有两个交点，则a的取值范围为________．

2、[2015·北京高考]设函数

2xa,x1f(x)＝

4xax2a,x1(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

x，x≤a，3、[2015·湖南高考]已知函数f(x)＝2x，x＞a.3

若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．