习题3.1教案设计

探究函数的零点个数学案

学习目标：能记住函数零点的概念，会判断函数零点个数。

重点：函数零点个数的判断方法。

难点：含参函数的函数的零点问题。

一、知识回顾

函数零点的概念，函数零点个数的常用判断方法：①代数法（易于解方程的函数）；②图像法，易于作图的基本函数，直接作出函数图像，不易作图的函数一分为二化归为两个易于作图的函数。

二、核心提炼

易于解方程的直接解方程，不易解得作图，不易作图的一分为二，化归为可以作图的两个函数。

题型一：代数法判断函数的零点个数

例1：求下列函数的零点

⑴

f(x)4x24x3

⑵

f(x)4x34x23x

题型二：图像法判断函数的零点个数

例2

判断函数f(x)x3x26x5的零点个数。

1 32

变式1判断函数f(x)x3x26x5a的零点个数。

变式2 已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（

）

A .（2，+∞）

B. （1，+∞）

C . （- ∞

，-1）

D .（-∞，-2）

2 32

备选例题

1. (2014·湖北高考·T9)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为

(

) A.{1,3}

B.{-3,-1,1,3}

D. {27,1,3}

C. {27,1,3}

【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R上的奇函数,求出函数在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决. 【解析】选D.由f(x)是定义在R上的奇函数, 当x≥0时,f(x)=x2-3x, 2x3x,x0所以f(x)2x3x,x0

2x4x3,x0所以g(x)2

x4x3,x0x0x0由2，2解方程组可得. x4x30x4x302.（2013·天津高考理）函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为

(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【解析】选B

本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数11即为函数y＝|log0.5x|与y＝x图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝x的图象，22易知有2个交点．

3.（2012·辽宁高考理）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.13又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为

(

) 22A．5

B．6

C．7

D．8 【解析】选B

由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图像，如图．由图可知函数y＝g(x)，y＝f(x)1313在[－，]图像有6个交点，故h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点有6个．

22224．（2012·天津高考理）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是

(

)

3

A．0

B．1

C．2

D．3 【解析】选B

法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1. 法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，

所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．

5.（2012·湖北高考文）函数f(x)＝xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为

(

) A．2

B．3

C．4

D．5 π3π5π7π【解析】选D

f(x)＝xcos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个4444根，故原函数有5个零点．

6.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a. (2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点. 【解题提示】(1)利用切线的性质结合已知条件求得a. (2)由f(x)=kx-2,化为“k= g(x)”型,通过研究函数g(x)的性质,画出g(x)的草图,完成证明. 【解析】(1)因为f(x)=x3-3x2+ax+2,所以f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a, 设切点A(0,2),切线与x轴交点为B(-2,0),则kAB=f'(0),即所以,a=1. (2)当k<1时,令f(x)-kx+2=x3-3x2+x-kx+4=0.则x2-3x+1+20=a, 024=k,x≠0, x442x33x24令g(x)=x-3x+1+.则g'(x)=2x-3-2=. 2xxx2令h(x)=2x3-3x2-4,则h'(x)=6x2-6x=6x(x-1), 所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)递减. 当x∈(-∞,0)或(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)递增;且h(0)<0,h(2)=0. 所以当x<2时,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0),(0,2)上递减; 当x>2时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上递增;

4

所以当x∈(0,2)∪(0,+∞)时,g(x)≥g(2)=1, 当x∈(-∞,0)时,单调递减,且g(x)∈(-∞,+∞). 所以当k<1时,g(x)=k仅有一个根,图像如图所示,

所以,当k<1时,y=f(x)与y=kx-2仅有一个交点.

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