小结优秀教案说课稿

第二章 函

数

考点要求

（一）函数

1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数．

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题．

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性．

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值．

6．会运用函数图像理解和研究函数的性质．

（二）指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．

理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题．

4．

知道指数函数是一类重要的函数模型．

（三）对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．

xya4．了解指数函数与对数函数ylogax互为反函数（a0,a1）．

（四）幂函数

1．了解幂函数的概念．

112．结合函数yx，yx，yx，y，yx2的图像，了解它们的变化情况．

x23（五）函数与方程

1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数．

（六）函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题

第一节 函数的概念与表示

自主学习

1．映射的定义：设A,B是两个非空集合，如果按照对应法则f，对于集合A中的任

意一个元素，在集合B都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB．

2．一一映射：对于从集合A到集合B的映射，若B中的任意一个元素在A中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合A到集合B的一一映射．

3．象与原象：对于给定的一个集合A到集合B的映射，且aA,bB，元素a与元素b对应，那么元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．设原象a组成的集合为M，则有MA，设与原象a对应的象b组成的集合为N，则NB．

B都是非空的数集，4．函数的概念：如果A、那么从集合A到集合B的映射f：AB叫做A到B的函数．原象的集合A叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．

5.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同．

教材透析

知识点1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一”

或“多对一”的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合A中的每一个元素是否在集合B中都有象，然后看集合A中每一个元素的象是否唯一．

知识点2 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A和集合B只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式．

知识点3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数．

知识点4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零．

典例剖析

【题型1】求函数值

3【例1】如果函数（对任意xR都有（，试求f1x）（f1x）fx）（xa）的值. （f2）（f-2）

【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定a的值，求出函数解析式．

【变式与拓展】

)1. 函数fx对于任意实数x满足条件f(x2f(f(5)) . 【题型2】

求函数解析式 1，若f15,则f(x)

时，（

【变式与拓展】

fx）]2x1，求一次函数f(x)的解析式. 2. 如果f[（. 【题型3】

分段函数

【例3】如右图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，

DCPAB

沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设点P移动的路程为x，ABP的面积为yf(x). （1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；

（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.

【变式与拓展】

3. 函数f(x)|x1||的图象是

能力训练

一、选择题

2xx2，则ff的定义域为

（

）

2x2x A. 4,00,4 B. 4,11,4 C. 2,11,2 D. 4,22,4

1．设fxlg2. 已知函数f(x)A.a＞a3x1的定义域是R，则实数a的取值范围是 （ ）

2axax3B.12a0 C. 12a0

D.a31

31

31x21x3.已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（

）

21x1x A. x 1x2B. 2x2x

C.

1x21x2D. x

1x2x23x44.函数y的定义域为 （

）

xA．[4,1]

B．[4,0)

C．(0,1]

D．[4,0)(0,1]

5.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是 （ ）

A.10%

B.15%

C.18%

D.20% 6．（2006年广东）函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是 ( ) 113313 A.(,) B.(,1) C.(,) D.(,)

二

填空题

7．函数y=x2x2的定义域为 ，值域为

1313

8．（2004浙江文）已知f(x)1x0则不等式xf(x)x2的解集是. 0x0exx019．（2006年辽宁）设g(x)，则g(g()). 2lnx,x02(x1)10.设函数f（x）=f(x)4x1x1x1，

则使得f(x)1的x的取值范围是 . 第二节 函数的单调性

自主学习

1. 增函数、减函数的定义

一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，那么就说f(x)在这x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)〔或都有f(x1)f(x2)〕个区间上是增函数（或减函数）. 如果函数yf(x)在某个区间上是增函数（或减函数），就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2. 函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 讨论复合函数单调性的根据：设yf(u)，ug(x)，x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数. （1）若yf(u)是[m,n]上的增函数，则yf[g(x)]与ug(x)的增减性相同；

（2）若yf(u)是[m,n]上的减函数，则yf[g(x)]的增减性与ug(x)的增减性相反. 4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法（主要用于解选择题或填空题）. 5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等. 教材透析

1 判断函数单调性：

（1）定义法：给定区间D上的函数f(x)，若对x1,x2D，且x1x2，都有

f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）则称函数f(x)在D上是增函数（或减函数）. f(x1)f(x2)与定义等价的判断方法：x1,x2D，若0

x1x2（或(f(x1)f(x2))(x1x2)0），则称函数在D上是增函数. 2.导数法：给定区间D上的函数f(x)，求其导数f(x)，对于xD，若f(x)0(0)，

则函数f(x)在D上是增函数（或减函数. 3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，”分开，如y1的减区间(,0)，(0,)，不能写成(,0)(0,). x 4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=”的条件是否满足. 典例剖析

【题型1】函数单调性的判断与证明

bR，【例1】定义在R上的函数f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、有f(ab)f(a)f(b). （1）求证：f(0)1；

（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；

（3）求证：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)f(2x－x2)1，求x的取值范围.

. 【变式与拓展】

1. 设函数f(x)x21ax(a0)，求证：当且仅当a1时，f(x)在[0,)内为单调函数；

【题型2】

利用单调性讨论参数的范围 【例2】已知函数f(x)m(x111)）的图象与函数h(x)(x)2的图象关于点x4xA(0,1)对称. （1）求m的值；

（2）若g(x)f(x)a在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围. 4x

【题型3】

函数的值域或最值

【例3】（设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a).

（1）设t1x1x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；

（2）求g(a)；

1（3）试求满足g(a)g()的所有实数a. a【变式与拓展】

3. 如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间(,1)上是增函数，求f(2)的取值范围. 12能力训练

一、选择题

已知函数f(x)ax22ax4(0a3),若x1x2,x1x21a,则（

）

A.f(x1)f(x2) B.f(x1)f(x2) C.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确

已知函数yf(x)的图象与函数yax（a0且a1）的图象关于直线yx对称，记1g(x)f(x)[f(x)2f(2)1]．若yg(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值2范围是（

）

A．[2,) B．(0,1)(1,2)

C．[,1) D．(0,] 21世纪教育网 1212

已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 ( ).

A.f(25)f(11)f(80) B. f(80)f(11)f(25)

C. f(11)f(80)f(25) D. f(25)f(80)f(11)

二

填空题

x2函数yf(x)的图象与y2的图象关于直线yx对称，则函数yf(4xx)的递增区间是. 函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是

如果函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上是减函数，那么实数a的取值范围是 . ．设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：

①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增；

②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增；

③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减；

④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减. 其中，正确的命题是

. 三

解答题

2设二次函数f(x)xaxa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21．

2（1）求实数a的取值范围；

（2）试比较f(0)f(1)f(0)与

1的大小，并说明理由．

1612.（2006年上海春）设函数f(x)x24x5. （1）在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像；

（2）设集合

Axf(x)5,B(,2][0,4][6,)，

试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；

（3）当k2时，求证：在区间[1,5]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方.

第三节 函数的奇偶性和周期性

自主学习

1.奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)

〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为奇函数. 2.偶函数：对于函数.的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)

〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）. （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f(0)0. （4）奇函数的反函数也为奇函数. （5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 4．周期函数的定义：对于函数yf(x)，如果存在一个不等于0的常数T，使得当x取定义域内的任意值时都有f(xT)f(x)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期.对于一个周期函数，如果所有周期中存在一个最小的正的周期，就把这个周期叫做最小正周期.

教材透析

知识点1:奇偶函数的定义域关于原点对称，解题时要优先考虑；定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数. 知识点2：函数奇偶性的判断方法：①定义域关于原点对称；②对于奇函数若定义域中有0，则f(0)0；③

特值检验，然后再证明；④利用某些性质：在公共定义域内，偶函数与偶函数的和（或差或积或商）是偶函数，奇函数与奇函数的和（或差或积或商）是奇函数，

（作商时，注意分母不能为0）奇函数与偶函数的积与商为奇函数. 知识点3：函数奇偶性的应用①作函数图像；②求解析式；③奇偶性与单调性的联系：奇函数的对称区间上单调性相同，偶函数的对称区间上单调性相反；④利用奇偶性求值. 知识点4：若T是函数的周期，则T的整数倍也是函数的周期. 典例剖析

【题型1】判断函数的周期性

【例1】设函数f(x)x2|x2|1，xR. （1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）求函数f(x)的最小值. 【点评】因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词. f(x)与f(x)要同时有意义，f（x）与f（－x）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.

【变式与拓展】

1.判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)lg1x

1xx2xx0（2）f(x)2

xxx0

【题型2】函数奇偶性的应用 exax是R上的偶函数. 【例2】设a0，f(x)ae（1）求a的值；

（2）证明f(x)在(0,)上是增函数．

．

【变式与拓展】

2 .设f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，yf(x)的图象是经过点(2,0)，斜率为1的射线，又在yf(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2)，且过点(1,1)的一段抛物线0.试写出函数f(x)的表达式，并作出其图象.

【题型3】

函数的周期问题

【例3】

求下列函数的周期：

（1）f(x1)f(x1) （2）f(x3)1

f(x) 【点评】这是一个抽象函数的周期问题，注意已知等式中变量的替换，再与周期的定义结合，就可以得出周期. 【变式与拓展】

已知偶函数f(x)是定义在R上的周期函数，其最小正周期为4．

（1）若f(1)2，求f(7)的值；

（2）若f(x)在[4,2]上递增，则下列关系中正确的是（ ）

A．f(3)f(1) B．

f(0)f(1) C．

f(3)f(8) D．

f(1)f(4)

．

能力训练

一．选择题

1．二次函数yx2mx1是偶函数，则函数的增区间为 （ ）

A．[0,) B．(,0] C．[1,) D．[1,)

2．下列函数中为奇函数的是 ( ) 3A．

yx2 B．

yx2x C．

ysin2xsinx D．

yx1x1

3．

函数f(x)1xx的图像关于（ ）

A．y轴对称

B．

直线yx对称 C．

坐标原点对称 D．

直线yx对称

4．

定义在R上的奇函数f(x)的最小正周期为3，则下列关系中恒成立的是( ) A．f(2)f(3) B．f(2)f(4) C．f(1)f(2) D．

f(5)f(2)

5．函数f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2,则f(a)的值为( ) A．3 B． 0 C． -1 D．-2 二．填空题

7．设函数fxx1xax为奇函数，则实数a．

8．若函数f(x)x1,x0b,x0为偶函数，则f(ab)．

ax

9．若定义在R上的函数f(x)满足：f(x5)f(x)，则函数f(x)的周期为．

10．设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)0，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)．

三．解答题

11．已知偶函数f(x)在(0,)上为增函数，且f(2)0，解不等式：f(2x3)0．

5px2212．已知函数f(x)是奇函数，且f(2)，

3q3x（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在(0,1]上的最大值．