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高三高考数学小题过关试题（五）

一．选择题

1．已知平面向量a，b夹角为A．1

B．3

1，且a1，b，则a2b（

）

32D．C．2 3

2【答案】A【解析】根据条件：ab1∴a2b2111，

22411a24ab4b21441，

44∴a2b1，故选A．

2．已知为第二象限角，sinA．【2tan，则的值为（

）

2410C．2

解析】由题意可D．3

得：1

2答案】CB．1

3【22sinsincoscossinsincos，

444210n则：sicos，据此有：152sin2cos2cos22sin221，5sin22cos222tan2tan221tan22111tan2或tan，，解得：则tan0，为第二象限角，22325综上可得：tan2的值为2．本题选C．

3．一个几何体的三视图如图所示，其中正侧视和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形：俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的表面积为（

）A．42B．420

3C．616

D．882

3【答案】C

【解析】由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为2正方体，上面是半径为2的半球，2所以几何2体的表面积为2252122422616．本题选择C选项．

4．已知函数fxsinx(0,1)的图象过点0,，若fx≤f对2122xR恒成立，则的最小值为（

）

A．2

【答案】B 【解析】函数图象过点0,对xR恒成立可得：B．4

C．10

D．16

11sin，则：，结合可得：，由：fx≤f2262122kkZ，解得：令k024k4kZ，1262可得：min4．本题选B．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccosA0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为（

）

A．3

B．22

C．23

D．32

【答案】C 【解析】由题意可得：sinB2sinCcosA0，sinAC2sinCcosA0，

sinAcosC3cosAsinC，tanA3tanC，cosA据此可得：tanBtanACb0，tanC0，

2ctanAtanC2tanC21tanAtanC13tanC223213tanCtanC，

由均值不等式的结论：213tanCtanC≤33，当且仅当tanC时等号成立，33此时角B取得最大值．据此可知：tanB33，tanA3，tanC，即△ABC33是顶角为120的等腰三角形，结合余弦定理可得△ABC的周长为23．本题选择C选

项．

6．设xy1≤1，则xy≥2的概率为（

）

22A．1π213π2

B．

C．

D．

44π2π4π【答案】B 【解析】作出直线与圆的图象，如图所示：

2x2y11由得，A0,2，B1,1，则xy≥2xy2π111π2的概率为42．故选B．

π4πx2x227．已知椭圆C1:2y1(m1)与双曲线C2:2y21(n0)的焦点重合，e1，e2分mn22别为C1，C2的离心率，则e1的取值范围为（

）

e2A．2,

B．0,2

C．2,

D．0,2

2【答案】C 22【解析】因为椭圆与双曲线焦点重合，所以m1n1，由m1，n0可得mn，2n21m21m21n211122222，e，，所以eee2212m2n2n2m2m2n2n2m221所以e122e22,，故选C．

8．已知公差不为0的等差数列an，满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列an的前n项和，则A．2

【答案】A 【解析】设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3a12d，a4a13d．因为a1，S3S2的值为（

）

S5S3B．3

C．2

D．3

a3，a4成等比数列，所以a12da1a13d，解得：a14d．所以S3S2a2d12，故选A．

S5S32a17d2x2y29．过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，ab若F1PF260，则椭圆的离心率为（

）

A．1123

B．

C．

D．

2323【答案】D 【解析】由题设PF22PF则PF11，所以由勾股定理可得F1F22a4a，PF2，3323a2c，故该椭圆的离3心率是3，应选D．

32xy6≥010．已知实数x，y满足xy≥0，若目标函数x≤2zmxy的最大值为2m10，最小值为2m2，则实数m的取值范围是（

）

A．2,1

B．1,3

C．1,2

D．2,3

【答案】C 【解析】画出可行域如图所示，依题意可知，目标函数在点2,10取得最大值，在点2,2取得最小值．由图可知，当m≥0时，m0,2，当m0时，m1,0，故取值范围是1,2．

11．在等比数列an中，若a1a2a3a4（

）

1591111，a2a3，则等于88a1a2a3a4

A．

【答案】D 【解析】35B．

53C．

35D．

531111a1a4a2a3+，∵在等比数列中，a1a4a2a3，

=a1a2a3a4a1a4a2a3原式5a1a2a3a4158，故选D．

3a2a389x2y212．设点P是椭圆221（ab0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，abI为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF22S△IF1F2，则该椭圆的离心率是（

）

A．1

2B．2

2C．3

2D．1

4【答案】A 【解析】设△PF1F2的内切圆半径为r，则由S△IPF1S△IPF22S△IF1F2，

得111PF1rPF2r2F1F2r，即PF1PF22F1F2，即2a22c，

222c1．故选A．

a2椭圆的离心率e二．填空题

13．设fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx2【答案】23

【解析】由题意：x1，则flog13____．

4log13log4304，则：flog13flog43flog432log43123．

414．函数y3cos2x的图象关于点2，0中心对称，那么的最小值为_____．

3

【答案】

6245时，2xkk，取k1，3326【解析】由题意可得：当x可得的最小值为．

615．设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF5，若y轴上存在点A0,2，使得AMAF，则p的值为__________．

【答案】2和8 2)，设M(x，y)，由抛物线性质【解析】由题意可得：以MF为直径的圆过点(0，pp5，可得x5，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，22pp5225，已知圆半径也为5，据此可知该圆与y轴相切于点(0，2)，圆心横坐标为222MFx故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M5p,4，代入抛物线方程得2p210p160，所以p2或p8．

16．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60，若球半径为R，则弦AB的长度为__________．

【答案】a26R

3【解析】由条件可知ABCD是正四面体，如图，A、B、C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设ABa，则过点B、C、D的截面圆半径rO1B2233BEaa，

33232362ABCD正四面体的高AO1aaa，则截面BCD与球心的距离33dOO16aR，

3

36262∴，解得aaRaRR．

333三．解答题

2217．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C．

(1)求角A；

(2)若a＝23，求b＋c的取值范围．

解：(1)由正弦定理及sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C，知a2＝b2＋c2－bc，

b2＋c2－a21所以cos A＝2bc＝2．

ππ又0＜A＜2，所以A＝3．

π(2)由(1)知A＝3，

2π所以B＋C＝3，

2π所以B＝3－C．

因为a＝23，

所以23bc＝＝πsin Bsin C，

sin3所以b＝4sin B，c＝4sin C，

2π所以b＋c＝4sin B＋4sin C＝4sin3－C＋4sin C

π＝23(cos C＋3sin C)＝43sinC＋6．

因为△ABC是锐角三角形，

2ππ所以0＜B＝3－C＜2，

ππ所以6＜C＜2，

ππ2π所以3＜C＋6＜3，

所以π3＜sinC＋6≤1，

2π所以6＜43sinC＋6≤43．

故b＋c的取值范围为(6,43]．

18（本小题满分12分）设各项均为正数的等比数列{an}中，a1a310，a3a540.设bnlog2an(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)若c11，cn1cn解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，

bn，求证：cn3；

ana1a1q210由题意有2，

4aqaq4011∴a1q2，∴an2n，

∴bn＝n.------------5分

n(2)∵c1＝1＜3，cn＋1－cn＝n

212当n≥2时，cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝1＋＋2＋…＋22n－1，…7分

2n－1n－11112∴cn＝＋2＋3＋…＋n.

22222n－1n＋111相减整理得：cn＝1＋1＋＋…＋n－2－n－1＝3－n－1＜3，…….11分

2222综上所述

cn＜3………..12分