小结板书设计

函数小结复习

目标

通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．

教学过程

画出本章的知识结构图.

应用示例

思路1 3x例1求函数y＝2的最大值和最小值．

x＋43x2解：(判别式法)由y＝2得yx－3x＋4y＝0，

x＋4∵x∈R，∴关于x的方程yx－3x＋4y＝0必有实数根．

当y＝0时，则x＝0，故y＝0是一个函数值；

2当y≠0时，则关于x的方程yx－3x＋4y＝0是一元二次方程，

22则有Δ＝(－3)－4×4y≥0，

9332∴0＜y≤.∴－≤y＜0或0＜y≤，

164433综上所得，－≤y≤. 44∴函数y＝3x33的最小值是－，最大值是. x＋44422f(x)2例2函数f(x)＝x－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，x＋∞)上一定(

) A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

2解析：函数f(x)＝x－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，由于函数f(x)在开区间(－∞，f(x)a1)上有最小值，所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，即a＜1.g(x)＝＝x＋－2，下xx面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．

aaaa设1＜x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2)－(x2＋－2)＝(x1－x2)＋(－) x1x2x1x2ax1x2－a＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，

x1x2x1x2∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0. 又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.∴g(x1)－g(x2)＜0.∴g(x1)＜g(x2)．

∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D. 答案：D 例3求函数f(x)＝x－1的单调区间．

分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．

解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

1 2

设y＝u，u＝x－1，

2当x≥0时，u＝x－1是增函数，y＝u也是增函数，

又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

∴函数f(x)＝x－1在[1，＋∞)上是增函数．

2当x≤0时，u＝x－1是减函数，y＝u也是增函数，

又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

∴函数f(x)＝x－1在(－∞，－1]上是减函数．

即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．

思路2 例1某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：

①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；

②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；

③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．

请根据上述信息，完成下面问题：

(1)填写表格中空格的内容：

222

(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？

分析：(1)销售总利润y＝销售量r(x)×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．

2解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx－(100k－b1)x－100b1；

2在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx－(100k－b2)x－100b2. 故表格为：

2

b1b2(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0，∴－＞0，－＞0. 2k2kb1b2∴50－＞0,50－＞0. 2k2k则在销售旺季，y＝kx－(100k－b1)x－100b1，∴当x＝最大值；

100k－b2b22在销售淡季，y＝kx－(100k－b2)x－100b2，∴当x＝＝50－时，利润y取最2k2k大值．

由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．

b1因此在销售旺季，当标价x＝50－＝140时，利润y取最大值．∴b1＝180k. 2k∴此时销售量为r(x)＝kx－180k.令kx－180k＝0，得x＝180，

即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．

2∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×＝120元/件．

3可见在销售淡季，当标价x＝120元/件时，销售量为r(x)＝kx＋b2＝0. b2∴120k＋b2＝0.∴＝－120. kb2∴在销售淡季，当标价x＝50－＝50＋60＝110元/件时，利润y取得最大值．

2k即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．

例2求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最小值．

分析：思路1：画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值．

解：方法1(图象法)：

－4，y＝|x＋2|－|x－2|＝2x，4，2100k－b1b1＝50－时，利润y取2k2k

x≤－2，x≥2.

－2

3

由图象得，函数的最小值是－4，最大值是4. 方法2(数形结合法)：函数的解析式y＝|x＋2|－|x－2|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±2的对应点A、B的距离的差，即y＝|PA|－|PB|，如下图所示，

观察数轴可得－|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|，

即函数y＝|x＋2|－|x－2|有最小值－4，最大值4. 例3定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝x＋yf()．

1＋xy(1)求证：函数f(x)是奇函数；

(2)若当x∈(－1,0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1,1)上是减函数．

分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x＝－y是解题关键；(2)定义x2－x1法证明，其中判定的范围是关键．

1－x1x2证明：(1)函数f(x)定义域是(－1,1)，

x＋y0＋0由f(x)＋f(y)＝f()，令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f()，

1＋xy1＋0∴f(0)＝0. x－x令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(2)＝f(0)＝0，

1－x∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减，令0＜x1＜x2＜1，则

x1－x2x2－x1f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f()＝f(－)，

1－x1x21－x1x2∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0,1－x1x2＞0. ∴x2－x1＞0. 1－x1x2又(x2－x1)－(1－x1x2)＝(x2－1)(x1＋1)＜0，

∴0＜x2－x1＜1－x1x2. x2－x1x2－x1∴－1＜－＜0.由题意知f(－)＞0，

1－x1x21－x1x2∴f(x1)＞f(x2)．

∴f(x)在(0,1)上为减函数．

又f(x)为奇函数，

∴f(x)在(－1,1)上也是减函数．

知能训练

4

1．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x. (1)求f(x)；

(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．

分析：(1)由于已知f(x)是二次函数，用待定系数法求f(x)；(2)结合二次函数的图象，写出最值．

2解：(1)设f(x)＝ax＋bx＋c，

由f(0)＝1，可知c＝1. 22而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)＋b(x＋1)＋c]－(ax＋bx＋c)＝2ax＋a＋b. 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1. 2故f(x)＝x－x＋1. 1232(2)∵f(x)＝x－x＋1＝(x－)＋，

2413∴当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值是f()＝，f(x)的最大值是f(－1)＝3. 242．已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)判断函数f(x)的奇偶性．

(2)当x∈[－3,3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．

分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，则用定义法判断f(x)的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f(0)，再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在[－3,3]内的单调性，利用单调法求出最值．

解：(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

∴f(0)＝f(0)＋f(0)．∴f(0)＝0. 而0＝x－x，因此0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

即f(x)＋f(－x)＝－x)＝－f(x)．

∴函数f(x)为奇函数．

(2)设x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，知

f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又当x＞0时，f(x)＜0，

∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0. ∴f(x2)＜f(x1)．

∴f(x1)＞f(x2)．

函数f(x)是定义域上的减函数，

当x∈[－3,3]时，函数f(x)有最值．

当x＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x＝3时，函数有最小值f(3)．

f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，

f(－3)＝－f(3)＝6. ∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6.

作业

已知函数y＝f(x)的定义域是R，且对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，并且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(1)＝－1.

5

(1)证明函数y＝f(x)是R上的减函数；

(2)证明函数y＝f(x)是奇函数；

(3)求函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)的值域．

分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f(－＝－f(x)；(3)利用单调法求函数的的值域．

解：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2，

由题意得f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．

∴f(x1)－f(x2)＝－f(x2－x1)．

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又∵当x＞0时，f(x)＜0恒成立，

∴f(x2－x1)＜0.∴f(x1)－f(x2)＞0. ∴函数y＝f(x)是R上的减函数．

(2)令a＝x，b＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)．

令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0. ∴函数y＝f(x)是奇函数．

(3)由(1)得函数y＝f(x)在[m，n]上是减函数，则有f(n)≤f(x)≤f(m)．

∵对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，

∴f(m)＝f[(m－1)＋1]＝f(m－1)＋f(1)＝f(m－2)＋2f(1)＝…＝mf(1)＝－m，

同理有f(n)＝－n. ∴函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)上的值域是[－n，－m]．

6 x)