信息技术应用 借助信息技术方程的近似解精品学案

§3.1.1 方程的根与函数的零点教学设计

广州市第二十一中学 闫焕民 一、教学目标：

知识与技能：让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切关系；启发学生学会结合函

数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根与函数的零点。

过程与方法：通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”

的认知规律，在今后的学习中利用

这一规律探索更多的未知世界。

情感态度与价值观：通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还会让学生充分体

验“数学”语言的严谨性，“数学思想方法”的科学性。

二、重点：零点的概念及存在性的判定．

难点：准确认识函数零点的概念、能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。

三、学情分析：学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当

函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数

的联系，对二次函数图象与x轴的相交问题，也有一些直观的认识．在高中阶

段，已经学习了函数的概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质．以 二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数 零点的关系，学生并不会觉得困难．学生学习的难点是准确理解零点存在性定

理，并针对具体函数（或方程），能判断存在零点（或根）的区间．

四、教学方法和教具：本节教学目标的实现，需要借助PPT课件，一方面是绘制函数图象，

通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与x轴的交点的关

系；另一方面，判断零点所在区间过程中，也必须借助课件，同时使用学案让学生更加清晰；采用师生互动的教学方法。

五、教学过程：

（Ⅰ）新课导入 知识探究（一）：一元二次方程的实数根与相应二次函数的图像之间有什么关系？

教师活动：请同学们看黑板上的一次函数y2x1的图像，写出一元一次方程2x10的实数根？并回答下列问题。

1.一元一次方程2x10的实数根与相应一次函数y2x1的图像之间关系如何？

意图：通过回顾简单的一次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为二次函数及相应方程关系作准备．

教师活动：请同学们求出表1中的三个一元二次方程的根

表.1.（特殊的一元二次方程与相应的二次函数）

一元二次方程

一元二次方程的实根

相应的二次函数

x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

相应的二次函数图象

相应的二次函数图象

与x轴交点坐标

相应的二次函数图象

与x轴交点的横坐标

思考1：一元二次方程的根与相应函数图象有什么关系？

意图：回顾三个特殊的二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般的二次函数及相应方程关系作准备．

表.2.

（一元二次方程ax2bxc0(a>0)与相应二次函数yax2bxc(a>0)）

判别式b4ac

一元二次方程实根情况

2△＞０

△＝０

△＜０

二次函数的图像

相应的二次函数图象

与x轴交点

相应二次函数图象

与x轴交点横坐标

规律：一元二次方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相应的二次函数的图象与x轴交点的

．

意图：回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．

例:画出函数ylog2x的图像,求出方程log2x0的解,并说出方程的解和函数图像的关系。

例：求出方程20的解，并由此说出此方程对应的函数y2x图像与x轴交点的横坐标。

规律：一般地，方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相应函数的图象与x轴交点的

．

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

教师活动：那么，方程的根，是函数图象与x轴交点的横坐标。对方程，把它称为根；对图象，是与x轴交点的横坐标。对于函数，又该把它称为什么？

揭示课题

板书课题：3.1.1 方程的根与函数的零点

教师活动：我们把使方程f(x)=0成立的实数x称作函数y=f(x)的零点。这是我们本节课的第一个知识点。

板书：1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)，使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

（Ⅱ）函数零点的概念：

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的

．

(1)对零点的理解

“数”的角度：即是使得f(x)0的___________ “形”的角度:即是函数f(x)的图像与x轴交点的__________

(2)等价关系：方程f(x)0有实数根



函数yf(x)的图象与x轴有交点 x

思考2：零点是一个点吗？

教师活动：

带领学生学习函数零点的定义

板书：2.方程的根与函数零点的等价关系

意图：清晰辨析函数零点的定义，零点不是一个点，而是具体的自变量的取值，使学生更明确概念。等价关系的设计意图是让学生明确函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题．这正是函数与方程思想的基础．

教师活动：

带领学生完成练习1和例1

练习1：函数yx22x3的零点是（

）. A.（-1，0），（3，0）

B. x = 0

C.

y = 3

D. -1和3 例1：求函数ylog2(x1)的零点.

小结：求函数的零点的步骤①_____________；②_______________；③_____________；

练习2、求下列函数的零点

（1）f(x)2x8

（2）yx22x3

补充：从函数的图象中写出函数的零点

教师活动：引导学生完成求函数零点的方法总结。

意图：从零点的两种求法：方程法和图象法入手使学生更加清晰了解函数零点的概念。

思考：函数ylnx2x6有零点吗？

教师活动：引导学生回忆考察二次函数是否有零点，可以检查△；但一般的连续函数呢？引出函数零点存在性定理

知识探究（二）：函数零点存在性定理

探究：

（1）观察二次函数f(x)x2x3的图象（右图）

①在区间[2,1]上有零点____；f(2)____，f(1)____，

2f(2)f(1)____0（或>）

②在区间[2,4]上有零点_______ ；f(2)f(4)____0 （或>）

（2）观察函数的图象(右图)

①在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)f(b)__0（＜或＞）．

②

在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)f(c)__0（＜或＞）．

③

在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)f(d)__0（＜或＞）．

④

在区间[0,b]上______ (有/无)零点；

f(0).f(b) _____ 0（＜或＞）．

⑤

在区间[a,c]上______(有/无)零点；

f(a).f(c) _____ 0（＜或＞）．

教师活动：让学生自主完成探究（1）（2）后引导学生总结出零点存在性定理

意图：通过二次函数和普通函数的类比得出零点存在性定理．

结论：【零点存在性定理】

如果函数yf(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0，那么函数yf(x)在区间（a，b）内有

，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根．

教师活动：其实同学们已经说出了我们今天学习的重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点，并请同学们分组完成思考3的五个问题。

板书：3.零点存在性定理

思考3、（来自“零点存在性定理”的几个思考）（可利用右下图作为分析的载体）

y （1）如果函数的图象不是连续不断的，结论还成立吗？

（2）若f(a)f(b)0，函数在(a,b)一定没有零点吗？

（3）函数yf(x)在(a,b)内有零点，一定能得出

O x f(a).f(b)0的结论吗？

（4）满足定理条件时，函数在区间(a,b)上零点唯一吗？

（5）增加什么条件时，函数在区间(a,b)上零点必唯一？

意图：通过五个问题使学生准确理解零点存在性定理并得出零点存在性定理的推论

【零点存在性定理的推论】

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a).f(b)0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有

．

教师活动：请同学们独立完成堂上练习后核对答案

四、课堂练习

1、若函数f(x)在a,b上连续，且有f(a)f(b)0．则函数f(x)在a,b上（

）. A. 一定没有零点

B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点

D. 零点情况不确定

2、若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是（

）

A.a1

B.a1

C.a1

D.a1

3、已知函数f(x)2xx2有如下对应值表

x

f (x) 1.0 1.00 1.4 0.68

1.8 0.24

2.2 —0.24 2.6 —0.70 3.0 —1.00 则函数f (x)的一个零点所在的区间是（

）

A.(0.6,1.0)

B. (1.4,1.8)

C. (1.8,2.2)

D. (2.6,3.0)

4、函数f(x)lnxx4的零点一定位于区间（

）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

意图：四个课堂练习能反馈学生本节课的掌握情况，更好消化本节课的学习内容。

五、课堂小结：

(1)零点定义；

（2）方程的根、函数图像、零点之间的关系；

（3）零点的求法；

（4）零点存在性定理及推论

六、作业:《学习与评价》P80-P82 (T1----T12)

附：板书设计

3.1.1方程的根与函数的零点

1.函数零点的定义

2.方程的根与函数零点的等价关系

3.零点存在性定理

4.作业

作图草稿区

黑板书写