复习参考题教学设计和教学实录

习题课——指数函数、对数函数及其性质的应用

课后篇巩固提升

基础巩固

1.函数

f(x)=

在[-1,0]上的最大值是(

)

A.-1 解析函数答案D 2.函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(

) A.(-∞,+∞) C.(-∞,1] B.[1,+∞) D.[0,+∞) B.0 C.1 D.3

-

f(-1)=

=3.

f(x)=

在区间[-1,0]上是减函数,则最大值是

解析因为y=eu为增函数,u=|x-1|在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数“同增异减”法则可知函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(-∞,1].故选C.

答案C 3.函数f(x)=lo

(x2-4)的单调递增区间为(

)

A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-∞,0) D.(-∞,-2) 解析令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.

故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞), 当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo

t随t的减小而增大,所以y=lo

(x2-4)随x的增大而增

大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.

答案D

满足对任意x1≠x2,都有

-

<0成立,则a的取值范围是(

) 4.已知函数f(x)=

-

-

A.

C.

B.(0,1) D.(0,3)

满足对任意的x1≠x2,都有

-

<0成立,所以该函数为R上解析由于函数f(x)=

-

-

的减函数,所以

-

解得0

答案A 5.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为(

) A.(0,1) C.(0,2) B.(1,2) D.[2,+∞) 解析由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.

因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数, 所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0.

因此

-

故1

答案B 6.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f

=0,则不等式f(log4x)<0的解集是

.

解析由题意可知,f(log4x)<0⇔-

⇔

-

⇔

答案

7.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据的内存为2 KB,如果每3 min自身复制一次,复制后所占据的内存是原来的2倍,那么开机后,该病毒占据64 MB(1 MB=210 KB)内存需要经过的时间为

min.

解析设开机t min后,该病毒占据y KB内存, 由题意,得

y=2×

.

令y=

=64×210,又64×210=26×210=216, 所以有

+1=16, 解得t=45.

答案45 8.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=loga(4-2x).

(1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.

解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,

则有

-

解得-1

故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).

(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x), 即loga(x+1)>loga(4-2x).

当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.

由(1)知-1

综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2); 当0

9.已知定义域为R的函数f(x)=(1)求a的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

解(1)由f(x)是R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)⇔f(x)=

.

-

是奇函数.

-

=-

-

-

- 对于任意实数x恒成立,解得a=2,此时(2)我们先证明f(x)=

的单调性:

任取x1,x2∈R,且x1

f(x1)-f(x2)=

-

-

>0.

可见f(x)在R上单调递减.

由此结合奇偶性,我们有f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,即f(t2-2t)k-2t2,即3 -

-k>0.

要使上述不等式对t∈R恒成立,则需--k>0,即k<-.故k的取值范围为

- -

.

能力提升

1.函数y=x·ln |x|的大致图象是(

)

解析函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln |x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0

答案D 2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(

) A.a≤4 C.-4

增,故有

B.a≤2 D.-2≤a≤4 解析∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于零且单调递

-

解得-4

答案C 3.已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=5x,则f

,f

,f

的大小关系是(

) A.f

B.f

C.f

D.f

解析∵y=f(x+1)是偶函数,

∴y=f(x+1)的对称轴为x=0, ∴y=f(x)的对称轴为x=1.

又x≥1时,f(x)=5x, ∴f(x)=5x在区间[1,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(-∞,1)上是减函数.

∵f

=f

,且

, ∴f

, 即f

.

答案D 4.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是

.

解析当a>1时,y=logax在区间(2,+∞)上是增函数,由loga2≥1,得1

故a的取值范围是

∪(1,2].

答案

∪(1,2] 5.若函数y=

解析将函数y=

-

-

+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是

.

-

y=

的图象(如图所示),当m<0时,将

-

y=

的图象向右平移1个单位长度得到函数

的图象向下平移|m|个单位长度就可以得到函数y=

+m的图象.要使y=

-

+m的图象不经过第一象限,则需m≤-2.

答案m≤-2 6.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).

(1)求f(x)的解析式;

(2)若不等式

≥2m+1在

x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.

解(1)由题意得

解得a=2,b=3,∴f(x)=3·2x.

(2)设

g(x)=

, 则y=g(x)在R上为减函数, ∴当x≤1时g(x)min=g(1)=

.

∵

≥2m+1在x∈(-∞,1]上恒成立, ∴g(x)min≥2m+1,即2m+1≤

,∴m≤-

.

故实数m的取值范围为

- -

.

7.已知函数f(x-1)=lg

.

-

(1)求函数f(x)的解析式; (2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).

解(1)令t=x-1,则x=t+1.

由题意知

>0,即

-

0

所以f(t)=lg故f(x)=lg(2)lg =lg.

-

-

(-1

-

≥lg(3x+1)⇔≥3x+1>0.

-

-

由3x+1>0,得x>-

.

因为-10.

由 ≥3x+1,得

-

x+1≥(3x+1)(1-x), 即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0, 解得x≥或x≤0.又x>-,-1

故不等式的解集为

-

.

8.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

分析设u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1.

(1)函数f(x)的定义域为R,则真数u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1恒为正,若u(x)为二次函数,则图象的开口向上且判别式小于0,但需考虑a2-1=0时的情况.

(2)若函数f(x)的值域为R,则真数u(x)能取到所有正实数.

解设u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1.

(1)函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R, 即u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1>0在R上恒成立.

当a=1时,2x+1>0在R上不能恒成立,故舍去;

当a=-1时,1>0恒成立; 当a2-1≠0,即a≠±1时,

-

则

-

-

或

-

∴a>

或a<-1.

即

或

-

∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪

.

(2)∵f(x)的值域为R,

∴u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1的函数值要取遍所有的正数,即(0,+∞)是u(x)值域的子集.

当a=1时,符合题意; 当a=-1时,不符合题意; 当a≠±1时,函数u(x)为二次函数, 即函数u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1的图象与x轴有交点且开口向上,

-

则

-

-

或

-

∴1

.

即

-

综上可知,实数a的取值范围是

.