探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优秀教学设计

课

题：2.4.2 反函数（二）

恩施三中

王华山

教学目的：

⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明. ⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；

教学难点：定理的证明（但教材不作要求）. 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．反函数的定义；

2．互为反函数的两个函数yf(x)与yf1(x)间的关系：

----定义域、值域相反，对应法则互逆；

3．反函数的求法：一解、二换、三注明

4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点A'(x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点A'(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点A'(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点A'(?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①y3x2②yx3(xR)的反函数是yx23(xR)

(xR)的反函数是y3x(xR)

x2y(xR)

3

y3x2(xR)

二、讲解新课：

1．探究互为反函数的函数的图像关系

yx3(xR)y3x(xR)观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数yf(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称. 4

2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）

证明：设M(a,b)是yf(x)的图象上的任意一点，

则当x=a时，f(x)有唯一的值f(a)b. ∵yf(x)有反函数yf∴当x=b时，f11yf(x)PMM'(x)，

yf1(x)(x)有唯一的值f1(b)a，

1即点M'(b,a)在反函数yf(x)的图象上. 若a=b，则M，M'是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.

若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，PM'，MM'

由两点间的距离公式得：

2222PM=(ac)(bc),PM'=(bc)(ac)，

∴PM=PM'.

∴直线y=x是线段MM'的垂直平分线，

∴点M, M'关于直线y=x对称. ∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，

∴yf(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数yf图象上，由yf(x)与yf11(x)的(x)互为反函数可知，函数yf1(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数yf(x)的图象上，

∴函数yf(x)与yf1(x)的图象关于直线y=x对称. 逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数. 3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像

若yf(x)的图象已作出或比较好作，那么它的反函数yf1(x)的图象可以由yf(x)的图象关于直线y=x对称而得到；

⑵求反函数的定义域求原函数的值域；

⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同

三、讲解例题：

例1．求函数yx2(x0)的反函数,并利用对称yx2(x0)关系作出其反函数的图象. 解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,

∴由y=x解出xy, 2yx(x0)4

∴函数yx22(x0)的反函数是yx(x0), 作

y=x(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数yx(x0)的图象（如图）.

5x8的值域．

3x2例2．求函数y分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系. 解：∵y5x852y8

∴x

∴

y≠

33x23y5∴函数的值域为{y|y≠例3

已知f(x)=5} 311(x<-1)，求f21x1()；

3解法1：⑴令f(x)=y=1y12x，∴=--①，∵x<-1，∴x=-21xyy1;⑵∵x<-1，y由①式知y1≥1,∴y<0;

y1x11(x<0)；⑷f()=-2. 3x1⑶∴f1(x)= -分析：由y=f(x)与y=f则在y=f1(x)互为反函数的关系可知：当y=f(x)中的x=a时y=b，1(x)中,当x=b时y=a，本题要求f1()，设其为u，说明在函数3111f(x)=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x.

2331x112解法2：令=，变形得x=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 231x说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果. 四、练习：课本P63－64练习：5，6，7 补充：设函数y=f(x)的反函数为y=g(x)，求y=f(x)的反函数.

解：在函数y=f(x)中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=fx=-f11(y), ∴(y)，∴y=f(x)的反函数为y=-f1(x)，

1又∵g(x)= f(x),∴y=f(x)的反函数为y=-g(x). 4

五、小结

本节课学习了以下内容：

1.互为反函数的函数图象间关系，

2.求一个函数的反函数图象的方法，

3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性

六、课后作业：课本P64习题2.4：2 答案与提示：2.y=f七、板书设计

1.性质

2.图像

八、课后记：

1(x)=125x2,x∈[0,5]; 2

4