习题3.2教案推荐

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函数模型的应用实例

三维目标定向

〖知识与技能〗掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。

〖过程与方法〗通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。

〖情感、态度与价值观〗通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。

教学重点与难点:函数模型的选取与求解。

教学过程设计

第一课时

已知函数模型解实际问题

例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间的函数解析式，并作出相应的图象。

解：（1）阴影部分的面积为50×1 + 80×1 + 90×1 +

75×1 + 65×1 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。

t h50t2004,0t180(t1)2054,1t2（2）根据上图，有s90(t2)2134,2t3，

75(t3)2224,3t465(t4)2299,4t5

1

这个函数的图象如右图所示。

小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。

V

练习1：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h

的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（

）

来源:Zxxk.Com]

H

h

(A)

(B)

(C)

(D) 练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式pf(t)；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）

例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

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yy0ert，其中t表示经过的时间，y 0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。

下表是1950 ~ 1959年我国的人口数据资料：

1957年份

1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 源:Z&xx&k.Com]来1958

65994 1959 5519人数/万人

6 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64562 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9。由55196(1r1)56300，可得1951年的人口增长率r10.0200。

同理可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184，

于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r(r1r2令y055196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

r9)90.0221。

y55196e0.0221t,tN。

根据上表的数据作出散点图，并作出函数

：

y55196e0.0221t,tN的图象（如图）可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。

（2）将y = 130000代入y55196e0.0221t，得t38.76。

所以，如果按上表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就

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已达到13亿。

小结：已知函数模型解实际问题主要有两类：（1）已知函数解析式形式，只须求待定系数，较易；（2）根据题目所给条件，能够列出两个变量、之间的关系式，从而得出函数解析式，这类题目的关键是审清题意，弄清常量、变量诸元素之间的关系。

归纳：解函数应用题的步骤：

解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，基本程序如下：

1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉将要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。

2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

3、合理求解纯数学问题。

4、解释并回答实际问题。

练习：P104，1、2。

作业：P107，习题3.2，A组：2、3、4。

教学反思：

第二课时

函数拟合问题

例1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

销售单价/元

日均销售量/桶

6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润。

4

解：由上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480 – 40 (x

– 1) = 520 – 40x（桶）。

由于x > 0，且520 – 40x > 0，即0 < x < 13，于是可得

y(52040x)x20040x2520x200,0x13。

所以，当x = 6.5时，y有最大值。

所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

练习1：（P106）某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元。

（1）分别求出总成本y1（单位：万元），单位成本y2（单位：万元），销售总收入y3（单位：万元），总利润y4（单位：万元）与总产量x（单位：件）的函数解析式；

（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析。

练习2：某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元。对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台。已知销售收入函数为：H(x)500x12x，其中x是产品售出的数量，0x500。

2（1）若x为年产量，y为利润，求y = f (x) 的解析式；

（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？

例2、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160学科网来源170

55.05 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 （1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年

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男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏重，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否常？

解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图。据点的分布特征，可考虑以yabx作为刻画这个地区未年男性的体重与身高关系的函数模型。

如果取其中的两组数据（70，7.90），（160，47.25），707.9ab，解得a≈2，b≈1.02。这样，yabx得：16047.25ab正根成代入我们就得到一个函数模型：y21.02x。

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。

（2）将x = 175代入y21.02，得y21.02x17563.98，

由于7863.981.221.2，所以，这个男生偏胖。

练习3：18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：

2（地球）行星

1（金星）

来源:Z#xx#k.Com]3（火星）

4（？）

5（木星）

6（土星）

7（？）

1.6

5.2 10.0

距离

0.7 1.0 他研究行星排列规律后估测在火星和土星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你用函数的模型推测谷神星离太阳的平均距离，在土星外面是什么星？继续推测它与太阳的平均距离。

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练习4：某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68。为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型yax2bxc，乙选择了模型ypqxr，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数。结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？

小结：有许多实际问题，只是采集了两个变量相应的一些离散数据，一般采用函数拟合的方法进行研究，即先画散点图，再选出拟合函数，并进行检验。

作业：P120，习题3.2，A组，1、5、6。

教学反思：

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