习题2.3教学设计方案

2.3 幂函数习题课教学设计

一、教学目标

1、复习巩固幂函数的概念，图象与性质

2、能熟练地掌握幂函数图象的变化规律，并用图象解决相关问题

3、培养学生观察、分析、归纳问题的能力

4、让学生进一步体会与掌握数形结合的数学思想方法

二、教学重点

幂函数的概念，图象及性质

三、教学难点

掌握幂函数图象的变化规律，并用图象解决问题

四、教学过程设计

（一）知识点复习

1、幂函数的概念

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．

幂函数的特征

（1）都是以自变量x为底数； （2）指数为常数；

（3）自变量x前的系数为1; （4）只有一项; 练一练：

1、判断下列函数哪几个是幂函数？

（1）y3x;　(2)yx2;　(3)y2x2;　(4)yx21;(5)y1（6）y(2x)2x

思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？

12．已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点（

4，）

，则k+α= 2α3．若y＝axa212是幂函数，则该函数的值域是________．

设计意图：概念及特征都让学生自己回忆思考，并回答。让学生巩固概念，深入理解概念。通过及时的练习，加深印象。

2．五种常见幂函数的图象与性质

函数特征性质

图象

定义域

值域

奇偶性

R

R

奇

y＝x y＝x2

y＝x3

y＝x

12y＝x－1

R

R

R

奇

{x|x≥0}

{x|x≠0} {y|y≥0}

{y|y≠0} 非奇非偶

奇

(－∞，0){y|y≥0}

偶

(－∞，0)单调性

增

减，

(0，＋∞)增

增

增

和

(0，＋∞)减

公共点

(1,1) 思考：如果把5个幂函数画在同一个直角坐标系中，你能发现那些一般性的规律？

规律：

（1）在第一象限内，当α>0时，图象单调增，当α<0时，图象单调减

(2) 当α为奇数时，函数为奇函数; 当α为偶数时，函数为

偶函数；

（3）任何幂函数都不过第四象限

（4）在第一象限，x=1右边图像由下到上，α由小到大。

（5）画幂函数图象的技巧：先画第一象限的图象，再结合定义域和奇偶性画剩余的图象。

练一练：

1、判一判(1)函数y＝x是偶函数．(

) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(

) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2、若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的12

图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( B )

A．d>c>b>a

B．a>b>c>d C．d>c>a>b

D．a>b>d>c

设计意图：通过对幂函数的图象的规律的总结，让学生的思维打开，不止局限于这五个幂函数的图象，对于其他幂函数问题也能类比的方法得到解决，培养学生解决问题的能力。

（二）考点突破：

考点一

幂函数的图象与性质

[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点

(3，3)，则f(x)是(

)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn－3n(n∈Z)的图象关于y轴23对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(

) A．－3

C．2 α

B．1 D．1或2 3[解析] (1)设f(x)＝x，将点(3，3)代入f(x)＝xα，解得α11＝，所以f(x)＝x3，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是3增函数，故选C. (2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn－3n在(0，＋∞)上是减函数，

22n＋2n－2＝1，∴2n－3n<0，

∴n＝1，

又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1. [答案] (1)C (2)B [解题技法]

幂函数y＝xα的主要性质及解题策略

(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．

(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．

(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为

偶函数．

(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．

设计意图：用数形结合的方法解决问题是数学中很基本很重要的方法，让学生在学习中自己体会并掌握；规律总结有助于学生学会方法以便解决同一类问题。

[巩固训练] 1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为(

) A．y＝x－4

C．y＝x

2 B．y＝x－1

D．y＝x

13解析：选A 函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．

2.已知当x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．

解析：当p>0时，根据题意知p<1，所以0

答案：(－∞，1)

考点二

比较幂值大小

12121133[典例] 若a＝，b＝，c＝3，则a，b，c的大小关系252213是(

)

A．a

B．c

C．b

[解析] 因为y＝x23 D．b

12在第一象限内是增函数，所以a＝3>b＝2121x121133，因为y＝是减函数，所以a＝

常见类型

同底不同指

同指不同底

既不同底又不同指

[巩固训练] 3223221．若a＝5，b＝5，c＝5，则a，b，c的大小关系是(

) 555解决方法

利用指数函数单调性进行比较

利用幂函数单调性进行比较

常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断

两个幂值的大小

A．a>b>c

C．c>a>b

解析：选B 因为y＝x25 B．a>c>b

D．b>c>a

32在第一象限内为增函数，所以a＝5>c5222x2223＝5，因为y＝是减函数，所以c＝5>b＝5，所以a>c>b. 55552．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．

（，）答案：

2,332-12-12

（三）课堂小结：

1.掌握幂函数的概念与性质；

2.掌握幂函数的图象的应用；

3.能利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.