阅读与思考 集合中元素的个数教案3

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高中同步学习方略

第一章测试

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中，正确的是(

) A．第二象限的角是钝角

B．第三象限的角必大于第二象限的角

C．－831°是第二象限角

D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角

解析

A、B均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C错，∴选D. 答案

D aπ2．若点(a,9)在函数y＝3的图象上，则tan6的值为(

) xA．0

C．1

3B.3

D.3 aπ2ππ解析

由题意，得3a＝9，得a＝2，∴tan6＝tan6＝tan3＝3. 答案

D θ3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则2的终边在(

) A．第一、三象限

B．第二、四象限

C．第一、三象限或x轴上

D．第二、四象限或x轴上

1

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解析

由题意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ在x轴上或在第四θ象限，故2在第二、四象限或在x轴上．

答案

D 4．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么(

) πA．T＝2，θ＝2

B．T＝1，θ＝π

πC．T＝2，θ＝π

D．T＝1，θ＝2

2ππ解析

由题意知T＝π＝2，又当x＝2时，有2π＋θ＝2kπ＋2(kπ∈Z)，∴θ＝2. 答案

A π35．若sin2－x＝－2，且π

) 

4A.3π

5C.3π

π3解析

sin2－x＝cosx＝－2，

7B.6π

11D.6π

7π又x∈(π，2π)，∴x＝6. 答案

B 6．已知a是实数，而函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(

)

2

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2π解析

三角函数的周期为T＝|a|，当振幅大于1时，

∵|a|>1，∴T<2π.∵D的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D不符合要求．

答案

D 7．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得π到y＝sinx－6的图象，则φ＝(

) πA.6

7πC.6

5πB.6

11πD.6

11π11π解析

当φ＝6时，则y＝sinx＋6

ππ＝sinx＋2π－6＝sinx－6. 答案

D 2sinθ－cosθ8．若tanθ＝2，则的值为(

) sinθ＋2cosθA．0

3C.4

3 B．1 5D.4

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解析

∵tanθ＝2，∴答案

C tanx9．函数f(x)＝的奇偶性是(

) 1＋cosxA．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

解析

2sinθ－cosθ2tanθ－12×2－13＝＝＝4. sinθ＋2cosθtanθ＋22＋2

x≠kπ＋π，2要使f(x)有意义，必须使1＋cosx≠0，

即

πx≠kπ＋2，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，

∴函数f(x)的定义域关于原点对称．

tan－xtanx又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

1＋cos－x1＋cosxtanx∴f(x)＝是奇函数．

1＋cosx答案

A 10．函数f(x)＝x－cosx在(0，＋∞)内(

) A．没有零点

B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点

D．有无穷多个零点

解析

在同一坐标系里分别作出y＝x和y＝cosx的图象易知，f(x)＝0有且仅有一个零点．

4

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答案

B 111．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA1－cosA的值是(

) 1A．m＋n

11C.2m＋n

B．m－n

1D.2(m－n)

1解析

∵m－n＝lg(1＋cosA)－lg

1－cosA＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA) ＝lg(1＋cosA)(1－cosA)＝lgsin2A＝2lgsinA，

1∴lgsinA＝2(m－n)，故选D. 答案

D π12．函数f(x)＝3sin2x－3的图象为C，

11①图象C关于直线x＝12π对称；

π5π②函数f(x)在区间－12，12内是增函数；

π③由y＝3sin2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C，其中正确命题的个数是(

) A．0

C．2

11解析

①把x＝12π代入f(x)知，

11ππ113πf12π＝3sin2×12－3＝3sin2＝－3. 

5 B．1 D．3

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11∴x＝12π是函数f(x)的对称轴，∴①正确．

πππ②由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，得增区间为

π5ππ5πkπ－，kπ＋(k∈Z)．令k＝0得增区间－，，∴②正12121212确．

π2πx－2x－③依题意知y＝3sin23＝3sin3，

∴③不正确．应选C. 答案

C 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) π1π13．已知sinα＋2＝3，α∈－2，0，则tanα＝________. 

ππ122解析

sinα＋2＝cosα＝3，∵α∈－2，0，∴sinα＝－3，∴sinαtanα＝cosα＝－22. 答案

－22 14．函数y＝3cosx(0≤x≤π)的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为________．

π解析

如图，由于y＝3cosx(0≤x≤π)的图象关于点2，0对称，π，0所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点2成中心对称图形，故区域(Ⅰ)1的面积为矩形ABCD的面积的一半，即2×π×6＝3π.

6

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答案

3π

15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.

T2πππ4解析

由图知，4＝3－3＝3，∴T＝3π.

2π43又T＝ω＝3π，∴ω＝2. 3答案

2

16．给出下列命题：

π2①函数y＝cos3x＋2是奇函数；

②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；

③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα

5ππ④x＝8是函数y＝sin2x＋4的一条对称轴；

ππ⑤函数y＝sin2x＋3的图象关于点12，0成中心对称．

其中正确命题的序号为__________．

π22解析

①y＝cos3x＋2＝－sin3x是奇函数．

②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx

7

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＋cosx＝2成立．

ππ13ππ32π＋③α＝3，β＝6，则tanα＝3，tanβ＝tan6＝tan6＝3，tanα>tanβ，∴③不成立．

5ππ④把x＝8代入函数y＝sin2x＋4，得y＝－1. π∴x＝8是函数图象的一条对称轴．

ππ⑤因为y＝sin2x＋3图象的对称中心在图象上，而12，0不在图象上，所以⑤不成立．

答案

①④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sinπ－α＋5cos2π－α的值．

3π2sin2－α－sin－α解

∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，

∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．

∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．

∴sinα＝－2cosα. 可知cosα≠0. sinα＋5cosα∴原式＝

－2cosα＋sinα－2cosα＋5cosα3cosα3＝＝＝－4. －2cosα－2cosα－4cosα218．(12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝2，求tanA的值．

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2解

∵sinA＋cosA＝2，①

1两边平方，得2sinAcosA＝－2，

π从而知cosA<0，∴∠A∈2，π. 

∴sinA－cosA＝

＝

sinA＋cosA2－4sinAcosA

162＋1＝2.②

6＋2－6＋2由①②，得sinA＝4，cosA＝，

4sinA∴tanA＝cosA＝－2－3. π319．(12分)已知f(x)＝sin2x＋6＋2，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调减区间；

(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？

2π解

(1)T＝2＝π.

ππ3π(2)由2kπ＋2≤2x＋6≤2kπ＋2，k∈Z，

π2π得kπ＋6≤x≤kπ＋3，k∈Z. 所以所求的单调减区间为

π2πkπ＋，kπ＋(k∈Z)．

63π3(3)把y＝sin2x的图象上所有点向左平移12个单位，再向上平移2

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π3个单位，即得函数f(x)＝sin2x＋6＋2的图象．

20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点ππP12，0，图象与P点最近的一个最高点坐标为3，5. 

(1)求函数解析式；

(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；

(3)求使y≤0时，x的取值范围．

Tπππ解

(1)由题意知4＝3－12＝4，∴T＝π.

2πππ∴ω＝T＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－126，又A＝5，

π∴y＝5sin2x－6. ππ(2)函数的最大值为5，此时2x－6＝2kπ＋2(k∈Z)．

π∴x＝kπ＋3(k∈Z)．

π(3)∵5sin2x－6≤0，

π∴2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)．

5ππ∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)．

π33π21．(12分)已知cos2－α＝2cos2π＋β，3sin2－α

π＝－2sin2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．

π3解

cos2－α＝2cos2π＋β，即sinα＝2sinβ①



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3π3sin2π－α＝－2sin2＋β，即3cosα＝2cosβ②



①2＋②2得

2＝sin2α＋3cos2α. 又sin2α＋cos2α＝1，

12∴cosα＝2.∴cosα＝±2. 2π3又∵α∈(0，π)，∴α＝4，或α＝4π. π233(1)当α＝4时，cosα＝2，cosβ＝cosα＝2，

2π又β∈(0，π)，∴β＝6. 3π2(2)当α＝4时，cosα＝－2，

33cosβ＝cosα＝－2，

25π又β∈(0，π)，∴β＝6. ππ3π5π综上，α＝4，β＝6，或α＝4，β＝6. 22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θππ∈－2，2. π(1)当θ＝－6时，求函数的最大值和最小值；

(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．

π解

(1)当θ＝－6时，

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23324f(x)＝x－3x－1＝x－－3. 32

∵x∈[－1，3]，

34∴当x＝3时，f(x)的最小值为－3，

23当x＝－1时，f(x)的最大值为3. (2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数．它的图象的对称轴为x＝－tanθ. ∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，

∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥3，即tanθ≥1，或tanθ≤－3. ππ∵θ∈－2，2，

ππππ－，－∴θ的取值范围是23∪4，2. 

12