习题1.2教案2

第7课时

函数的表示法

序号

1

知识目标

通过前一节的实例了解函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法,体会三种表示方法的特点

2

会用待定系数法和换元法求函数的解析式

能够正确画出函数的图象,初步体会数形结合思想在函数中的应用

学法建议

小组讨论三种表示法的特点,加深对函数概念的理解

结合实例,小组总结求函数解析式的方法并交流

合作探究,画函数图象的步骤,小组代表板演画函数图象

能力素养

对比函数的三种表示法,了解其应用

掌握求函数解析式的基本方法

会用列表、描点、连线的方法画函数图象,体会数形结合的妙用

3

重点:函数图象的作法以及解析式的求法.

难点:解析式的求法.

下表是某天一昼夜温度变化情况:

时刻

0:00

4:00

8:00

12:00

16:00

20:00

温度/℃

-2

-5

4

9

8.5

3.5

预学1:分析《问题情境》

上面是用什么方法表示时刻与温度这两个变量之间的函数关系的?你能用图象法表示吗?由此你能写出这两个自变量之间的解析式吗?

【解析】运用了列表法表示.图象法如下:

24:00

-1

不能,并不是每个函数都能写出函数解析式的.

预学2:函数常见的表示方法及其定义

议一议:函数的这三种表示法能相互转化吗?(抢答)

【解析】不一定,如有的函数没有解析式,有的函数用图象法不精确.

预学3:函数的三种表示方法的优缺点比较

优

点

一是简明、全面地概括了变量间的关系;解析法

二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值

不需要计算就可以列表法

直接看出与自变量的值相对应的函数值

图象法

能形象直观地表示出函数的变化情况

只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大

它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系

不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来

缺

点

议一议:已知毛笔每支2元,可用于购买的钱有8元,设购买的支数为x(支),对应的购买费用为y(元),用三种方式表示y关于x的函数关系式.

(指定小组回答,其他组补充)

【解析】解析法:y=2x(x=0,1,2,3,4).

列表法:

x

0

1

2

3

4

y

0

2

4

6

8

图象法:

预学4:画函数图象的一般步骤

画函数图象的一般步骤为列表、描点、连线.在画图象时应注意以下几点:

(1)画函数图象时要首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;

(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;

(3)标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

议一议:作出函数y=x-2x+2,x∈(-1,2]的图象.

2

【解析】y=x-2x+2=(x-1)+1,x∈(-1,2].当x=-1时,y=5;

22当x=1时,y=1;

当x=2时,y=2.

其图象如图所示.

1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件最吻合的图象是(

).

【解析】距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选C.

【答案】C 2.f(x)=|x-1|的图象是(

).

-

【解析】f(x)=|x-1|=

当x=1时,f(1)=0,可排除A、C.又当x=-1时,f(-1)=2,排除D.

-

【答案】B 3.已知f(x)=2x+3,且f(m)=6,则m等于

.

【解析】由已知得2m+3=6,解得m=.

【答案】

4.已知f(x)是一次函数,且满足f(x+1)=2x+7,求f(x)的解析式.

【解析】设f(x)=ax+b,

则f(x+1)=a(x+1)+b=2x+7,

即ax+a+b=2x+7,∴a=2,b=5,

故f(x)=2x+5.

探究1:函数的表示法

【例1】(1)函数y=x+的图象是(

).

(2)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:

x

f(x)

x

g(x)

1

2

1

3

2

1

3

1

3

1

2

2

则f(g(1))=

;当g(f(x))=2时,x=

.

(3)某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).

【方法指导】领会函数常用的三种表示方法(解析法、图象法、列表法).

【解析】(1)由y=x+,知当x>0时,y=x+1;

当x<0时,y=x-1.

即y=

故选C.

-

(2)由g(x)对应表知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).

由f(x)对应表知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.

由g(x)对应表,得当x=2时,g(2)=2.

又g(f(x))=2,∴f(x)=2.

由f(x)对应表,得x=1时,f(1)=2.

∴x=1.

(3)函数y=f(x)的定义域是{1,2,3,4,5}.

用解析法可将函数y=f(x)表示为f(x)=5x,x∈{1,2,3,4,5}.

用列表法可将函数y=f(x)表示为

x

y

1

2

3

4

5

5

10

15

20

25

用图象法可将函数y=f(x)表示为如图所示.

【答案】(1)C

(2)1

1 【变式设问】在本例(2)的条件下,求g(f(g(2)))的值.

提示:∵g(2)=2,f(2)=1,g(1)=3,

∴g(f(g(2)))=g(f(2))=g(1)=3.

【针对训练1】某种洗衣机洗涤衣服时,需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程.假设进水时水量匀速增加,清洗时水量不变.已知进水时间为4分钟,清洗时间为12分钟,排水时间为2分钟,脱水时间为2分钟,洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如下表所示:

x

0

2

4

16

16.5

17

18

…

y

0

20

40

40

29.5

20

2

…

试写出当x∈[0,16]时,y关于x的函数解析式,并画出图象.

【解析】∵进水时水量匀速增加,∴进水阶段为一条直线.

由直线过(0,0),(2,20),(4,40),得y=10x,x∈[0,4];

在清洗阶段,y不变,y=40,x∈(4,16].

∴解析式为y=

图象如图所示.

探究2:简单函数图象的作法

【例2】画出下列函数的图象.

(1)y=1+x(x∈Z);

(2)y=x-2x(x∈[0,3));

2(3)y=,x∈[2,+∞).

【方法指导】由函数解析式及其定义域作图即可.

【解析】(1)函数的图象由无数个点组成,这些点都在直线y=1+x上,如图(1)所示.

(2)因为0≤x<3,所以函数的图象是y=x-2x在0≤x<3之间的部分,如图(2)所示.

2

(3)当x=2时,y=1,其图象如图(3)所示.

【变式设问】如何由y=的图象得到y=

-1 的图象?

1个单位即得y=

-1 提示:先将y=的图象向左平移1个单位得y=图象.

【针对训练2】画出下列函数的图象.

(1)y=+1,x∈{1,2,3,4,5};

(2)y=x+2x,x∈[-2,2].

2

,再将所得函数图象向下平移 的

【解析】(1)用列表法可将函数y=+1,x∈[1,5],x∈Z表示如下:

x

1

y

2

2

3

4

3

5

图象如图1所示.

(2)y=x+2x=(x+1)-1,x∈[-2,2],图象是y=x+2x在区间[-2,2]上的部分,图象如图2所示.

222

探究3:函数的解析式

【例3】(1)已知f(x)是二次函数,其图象的顶点是(1,3),且过原点,求函数f(x)的解析式.

(2)已知f(

+1)=x+2

,求函数f(x)的解析式.

【方法指导】(1)给出了函数模型,因此可用待定系数法进行求解.(2)可在“x+2

”中得到“的整体进

+1”行求解.

【解析】(1)∵图象的顶点是(1,3),∴可设f(x)=a(x-1)+3,又∵图象过原点,∴a+3=0,解得a=-3,

2∴f(x)=-3(x-1)2+3.

(2)(法一)∵x+2

=(

)+2

+1-1=(

+1)-1,

22∴f(

+1)=(

+1)2-1(

+1≥1).

即f(x)=x-1(x≥1).

2(法二)令t=

+1,则x=(t-1),t≥1,代入原式,

2有f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-2t+1+2t-2=t-1.

222∴f(x)=x2-1(x≥1).

【变式设问】本例(2)中的条件不变,不求函数的解析式,能求f(3)的值吗?如何求?(抢答)

提示:能求.令

+1=3,解得x=4,则f(3)=4+2

=8.

【针对训练3】(1)已知g(x-1)=2x+6,求g(3).

(2)一次函数的图象过点(0,-1),(1,1),求其解析式.

【解析】(1)(法一)令x-1=t,则x=t+1,

∴g(t)=g(x-1)=2(t+1)+6=2t+8,

∴g(x)=2x+8,∴g(3)=2×3+8=14.

(法二)令x-1=3,则x=4,∴g(3)=2×4+6=14.

(2)设一次函数的解析式为f(x)=kx+b(k≠0),

由题意知

-

∴

-

∴解析式为f(x)=2x-1.

1.函数的三种表示法各有优缺点且具有互补性,因此在实际研究函数时,应根据具体情况,选择适当的方法表示函数.

2.求函数解析式的关键是要先理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用什么字母表示无关),再选择适当的方法.注意有的函数要注明定义域.求函数解析式的四种常用方法:

(1)待定系数法:若已知函数f(x)的解析式的类型,则可先设出它的一般形式,再根据特殊值,确定相关的系数即可;

(2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可;

(3)配凑法:先对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可;

(4)解方程组法(消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.

3.画函数图象时首先要考虑函数的定义域;其次要标出关键点,如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等;最后要掌握常见函数的特征.

1.下列各图中,不能是函数f(x)图象的是(

).

【解析】结合函数的定义,知选项A、B、D,定义域中每一个x都有唯一函数值与之对应,而选项C,对大于0的x而言,有两个不同值与之对应,不符合函数定义,故选C.

【答案】C 2.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的解析式是(

).

A.g(x)=2x+1

B.g(x)=2x-1 C.g(x)=2x-3 D.g(x)=2x+7 【解析】∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,

∴g(x)=2x-1.

【答案】B

3.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(【解析】∵f(3)=1,

=1,

)的值等于

.

∴f( )=f(1)=2.

【答案】2 4.已知f(x)=ax+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,

(1)求f(x)的表达式;

(2)求f(

)的值. 【解析】(1)由f(0)=0,得c=0,∴f(x)=ax+bx.又f(x+1)=f(x)+x+1,

22

可得ax+(2a+b)x+a+b=ax+(b+1)x+1,

22

2

∴

解得

∴f(x)=x+

x.

(2)由(1)得f(

)=×2+×

=1+

.

【案例】在生活中,我们经常遇到不同的盛水容器,有台体、柱体、锥体等等,对不同的容器,在等速注水时,水的深度h与注水的时间t之间具有函数关系.我们能否根据容器形状判断出函数的大致图象,下面我们一起来进行如下探究:如图所示,A,B,C,D四个盛水容器体积相同,高度相同,向四个容器同时以等速注水,注满为止.

问题1:向容器C等速注水时,水的深度h与注水的时间t之间具有什么函数关系?

【解析】因为容器C是圆柱,所以水的深度h随着注水时间t的增加而均匀上升,属于一次函数关系.

问题2:记A,B,C,D四个容器注水容量达到容积的一半时所用的时间分别为t1,t2,t3,t4,比较t1,t2,t3,t4的大小关系.

【解析】因为四个容器的容积相等,它们的一半也相等,注水的速度一样,所以时间一样,即t1=t2=t3=t4.

问题3:记A,B,C,D四个容器注水的深度h到达容器高度的一半时,用时最短的是哪个容器?最长的又是哪个?

【解析】由案例中的图可知,注水的深度h到达容器高度的一半时,容器A的注水量最小,所以用时最短.容器B的注水量最多,所以用时最长.

问题4:向B容器注水,则水深h与注水时间t的函数图象是(

).

【解析】因为B容器下面宽上面窄,水深的增长先慢后快,故选B. 【答案】B

素养

数学抽逻辑推数学运直观想数学建数据分名称

题号

象

1

理

5,7,8

算

2,3,4,

8,9,10

象

6

模

11

析

基础达标(水平一

)

1.下列表格中x与y能构成函数的是(

).

A. x

非负数

非正数

y

1

-1

B. x

奇数

0

偶数

y

1

0

-1

C. x

有理数

无理数

y

1

-1

D. x

自然数

整数

有理数

y

1

0

-1

【解析】A中,当x=0时,y=±1;B中,0是偶数,当x=0时,y=0或-1;D中,自然数、整数、有理数之间存在包含关系,如x=1∈N(Z,Q),所以y的值不唯一,故A、B、D均不正确.

【答案】C 2.已知函数y=f(x)用列表法表示如下:

x

y

1

3

2

4

3

2

4

1

5

3

则f(f(2))等于(

).

A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】∵f(2)=4,∴f(f(2))=f(4)=1.

【答案】A

3.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(2)))=(

).

A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由题意可知f(2)=0,f(0)=4,f(4)=2.因此,有f(f(f(2)))=f(f(0))=f(4)=2.

【答案】B 4.已知二次函数满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的解析式可能为(

).

A.f(x)=x-2x

22B.f(x)=x-1 22C.f(x)=x-3x+2 D.f(x)=x+2x

【解析】由f(1+x)=f(1-x),令x=1,则有f(2)=f(0),代入符合条件的只有A. 【答案】A 5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=

.

【解析】当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,故f(x+1)=(x+1)(1-x-1)=-x(x+1),

又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=-【答案】-

.

6.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形后折成一个无盖的盒子,则此盒子的体积V以x为自变量的函数式为,定义域为

.

【解析】由题意知,该盒子的底面是边长为(a-2x)的正方形,高为x,

∴此盒子的体积V=(a-2x)2·x=x(a-2x)2.

其中自变量x应满足

-

即0

∴此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V=x(a-2x)2,定义域为(0,

).

【答案】V=x(a-2x)

(0,)

2

7.已知函数f(x+1)=x-3x+2,求函数f(x)的解析式.

【解析】(法一:换元法)令x+1=t,则x=t-1,代入已知可得f(t)=(t-1)-3(t-1)+2=t-5t+6,

222∴f(x)=x2-5x+6.

222(法二:配凑法)∵f(x+1)=x-3x+2=(x+1)-5(x+1)+6,∴f(x)=x-5x+6(x∈R).

拓展提升(水平二)

8.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=

-

(x≠0),则

f(

)=(

).

A.1 B.3 C.15 D.30 【解析】令g(x)=1-2x=,∴x=,

-

-

∴f(g(x))=

=

=15.

【答案】C 9.已知a,b为常数,若f(x)=x+4x+3,f(ax+b)=x+10x+24,则5a-b=

.

【解析】因为f(ax+b)=(ax+b)+4(ax+b)+3=ax+(2ab+4a)x+b+4b+3=x+10x+24,

2222222

- 所以

解得

或

-

所以5a-b=2.

【答案】2 10.用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.

【解析】由条件知矩形的底边长为2x,即半圆的半径为x,则半圆周长为πx,又总长为l,则矩形的另一边的长为

- ,∴面积为

y=2x·

-

+

=-(2+

)x2+lx.

- >0,解得

∵矩形的边长需满足2x>0且0

,∴定义域为{x|0

∴此框架围成的面积y与x的函数关系式为

y=-(2+

)x2+lx,0

11.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+.且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过20件.

(1)写出y关于x的函数解析式;

(2)用列表法表示此函数,并画出图象.

⇒

【解析】(1)将

代入y=ax+中,得

⇒

所以所求函数解析式为y=x+ (x∈N,0

(2)当x∈{1,2,3,4,5,…,20}时,列表如下:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

197

100

68.3

53

44.2

38.7

35

32.5

30.8

29.6

x

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

y

28.8

28.3

28.1

28

28.1

28.25

28.5

28.9

29.3

29.8

依据上表,画出函数图象如图所示.