探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优质教案设计

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研究性学习：互为反函数的两个函数图象之间的关系

思考1、点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的位置关系？

关于直线

yx对称思考2、将指数函数y=2x中的x用y表示得x=_____________log2y；

若将新得到的关系式中y当作自变量，x当作因变量，则x能否看

成是y函数?若不能，说明理由：若能，则新函数定义域和值域为？

定义域{y|y0}值域{x|xR}

3、从上可知，x

=log2y(y(0,+∞))是一函数，称为y=2x的____反函数，

我们习惯上把y表示函数，x表示自变量，为此我们常常对调x

=

中的字母，把它写成_____ ylog2y



log

2

x

。

4、在同一坐标系中用列表、描点法画得y=2x和其反函数ylog2x的图象如右下：

(1)若y=2x过（a,b）,

则ylog2x必过__________ (b,a)(2)两图象关于直线

y



x

对称；

(3)它们的定义域与值域恰

互换

。

5、一般地，若0

两函数图象关于直线

y



x

对称，它们的定义域与值域恰

互换

。

注意：底数要相同

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【练习】logx幻灯片

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6 1、函数y=3x的反函数为y=

3

，

yx=lgx的反函数为

y



10

。

2、已知函数y=ax的反函数过点(16,4)，则a2。

3、若0

B

）

A、1x

B、2x

C、log21x

D、log2x

2

探究一：函数ylog2x,ylog5x,ylgx的图象如图所示。

（1）ylog②2x______,③ylog①5x_______,ylgx______.（填上正确的序号）。

（2）以已有图象为基础，在同一坐标系中画出ylog1x,ylog1x,ylog1x的图象。

2510（3）从（2）中你得到了什么结论？y

③

②

1①

O12510x

探究二：若log3a41(a0且a1)，求实数a的取值范围。

（提示：化同底、分类讨论）

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例2、解下列不等式

(2)log(22x)log(2x2)1(3x)log1(x1)(1)log3解：(1)2ylog232x在其定义域内为增函数22x02x20，解得x1x122x2x2x0则不等式的解集为：x|1x0 (2)ylog1x在其定义域内为增函数33x0xx10，解得3x13xx1x1则不等式的解集为： {x|1x3}

变式：loga(5x)loga(2x1)解：当

0

a1时ylogax在其定义域内为增函数5x0x52x-10，解得x1，即

1x5x2x-1222x2

【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来

1、若0

两函数图象关于直线

y



x

对称，它们的定义域与值域恰_________互换。

【课后作业】1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是( B

)：

y

y

1 1 y

y1 1

0

1

x

0

1

x

0

1

x

0

1

x

A

B

C

D 2、若y=fx的图象过点(1，5)，则其反函数．．．的图象必过点（

A

）

A．(5，1)

B．(1，5) C．(1，1)

D．(5，5)

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11 3、当x(0，2]时，fx=3x的反函数的定义域为（

B

）

A.(0，+∞)

B．(1，9] C．(0，1)

D．[9，+∞)

4．若loga21(a0且a1)，求实数a的取值范围。

log

a21logaa

(1)a1时,ylogax在(0,)是增函数a2(2)0

a1时,ylogax在(0,)是减函数a2

即0a1

综上可得a的取值范围是(0,1)(2,)5.作出函数ylog2x的图象，它的图象与ylog2x的图象有何关系？

3、函数ylog5(4x)的减区间是( ) C

A.

R

B.

[0，4]

C. (－∞，4)

D.

(－∞，4]

4、若函数yloga(x1)(a0,a1)的定义域和值域都是[0,1],试a求的值

解：当x0时，yloga10, 又函数的定义域和值域都是[0,1]而yloga(x1)一定是单调函数当x1时,y1loga(11),解得a2综上，a的取值为2