信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学设计内容推荐

3.1.2

用二分法求方程的近似解

四川省名山中学

高继浩

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；

(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解；

(3)培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辨证思维的能力．

2．过程与方法

(1)通过对生产、生活实例的介绍，使学生体验逼近的思想和二分法的思想；

(2)通过具体实例和具体的操作步骤，体验算法的程序化思想．

3．情感、态度与价值观

(1)通过二分法的生活实例，使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣；

(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

●重点难点

重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点：对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解．

重难点的突破：以李咏主持的幸运52猜商品价格创设情境，导入二分法，激发学生情趣的同时初步体会二分法的含义，并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想——逼近思想，难点之一得以突破．在此基础上，提出问题：如何探寻方程在某一区间上的零点，引导学生借助零点存在性定理，类比案例分组协作，交流意见，归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程，基于二分法求解步骤的重复性，学生存在运算无限的茫然性，此时引出精确度的概念，化难为易，难点之二精确度的作用得以破解．

1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤．(重点) 课标解读

2．会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解．(重点) 3．会用二分法思想解决其他的实际问题．(难点)

知识1

【问题导思】

在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800元～1200元之间的一款手机，选手开始报价：

选手：1000. 主持人：低了．

二分法的定义

选手：1100. 主持人：高了．

选手：1050. 主持人：祝贺你，答对了．

1．主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？

【提示】

[1000,1200]．

2．选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？

【提示】

报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值．

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【问题导思】

在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？

【提示】

竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c>x，则在区间(a，c)内竞猜；若c

给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)，

若f(c)＝0，则c就是零点；

若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4). 类型1

二分法的定义

例1.

下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(

)

逐项【思路探究】

图象在零点附近连续――→该零点左右函数值异号

判断【自主解答】

利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B. 【答案】

B 规律方法

判断一个函数能否用二分法求零点的依据是：函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点．

变式训练

下列函数中不能用二分法求零点的是(

) A．f(x)＝3x－1

C．f(x)＝|x| B．f(x)＝x3

D．f(x)＝lnx

【解析】

结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．

【答案】

C 类型2

用二分法求函数的零点

例2.用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．

【思路探究】

确定f（1）与f（1.5）的符号→按二分法求零点的步骤求解

【自主解答】

经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．

如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：

(a，b)

(1,1.5)

(1.25,1.5)

(1.25,1.375)

(1.312 5，

1．375)

(1.312 5，

1．343 75)

(1.312 5，

1．328 125)

(a，b)的中点

1.25

1.375

1.312 5

1.343 75

1.328 125

1.320 312 5

f(a)

f(1)<0

f(1.25)<0

f(1.25)<0

f(1.3125)<0

f(1.312 5)<0

f(1.312 5)<0

f(b)

f(1.5)>0

f(1.5)>0

f(1.375)>0

f(1.375)>0

f(1.343 75) >0

f(1.328 125) >0

fa＋b2

f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.312 5)<0 f(1.343 75)>0 f(1.328 125) >0 f(1.320 312 5) <0 因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.

规律方法

1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．

(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间，找中点，中值计算两边看．

同号丢，异号算，零点落在异号间．

重复做，何时止，精确度来把关口．

变式训练

1已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，x则最多需要将区间等分的次数为

(

) A．3

B．4

C．5

D．6 32－3＝【解析】

由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f>0，区间长度2272－7＝0.25>0.2，

0.5>0.2，分二次，f>0，区间长度44157－15＝1<0.2，

分三次f<0，区间长度8488所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2. 【答案】

A 类型3

用二分法求方程的近似解

例3

用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．

【思路探究】

构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论

【自主解答】

令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．

取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，

所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

(a，b)

(0,1)

(0.5,1)

(0.5,0.75)

(0.625,0.75)

中点c 0.5

0.75

0.625

0.687 5

f(a)

f(0)<0

f(0.5)<0

f(0.5)<0

f(0.625)<0

f(b)

f(1)>0

f(1)>0

f(0.75)>0

f(0.75)>0

a＋bf() 2f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.687 5)<0

由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，

所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875. 规律方法

根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤求解．

变式训练

用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：

x 2x

1.125

2.18

1.25

2.38

1.375

2.59

1.5

2.83

1.625

3.08

1.75

3.36

1.875 3.67 【解】

令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0. 区间

(1,2)

(1,1.5)

(1.25,1.5)

(1.375,1.5) 区间中点值xn

x1＝1.5

x2＝1.25

x3＝1.375

f(xn)的值及符号

f(x1)＝0.33>0 f(x2)＝－0.37<0 f(x3)＝－0.035<0 ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.

巧用二分法求根式的近似值

3典例

(12分)求2的近似值(精确到0.01)．

33【思路点拨】

设x＝2→2就是方程x3－2＝0的根→

32就是函数y＝x3－2的零点

3【规范解答】

设x＝2，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就3是2的近似值.2分

以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.4分

用二分法逐步计算，列表如下：

区间

[1,2]

[1,1.5]

[1.25,1.5]

[1.25,1.375]

[1.25,1.312 5]

中点

1.5

1.25

1.375

1.312 5

1.281 25

中点函数值

1.375 －0.046 9 0.599 6 0.261 0 0.103 3

[1.25,1.281 25]

[1.25,1.265 625]

[1.257 81,1.265 625] 1.265 625

1.257 81

0.027 3 －0.01 由于区间[1.257 81,1.265 625]的长度1.265 625－1.257 81＝0.007 815<0.01，所以这个区3间的中点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即2的近似值是1.26.12分

思维启迪

1．求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．

2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε. 课堂小结

1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：

(1)在区间[a，b]上连续不断；

(2)f(a)·f(b)<0. 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值. 当堂检测

1．已知函数f(x)的图象如图3－1－1，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(

)

图3－1－1 A．4,4

C．5,4 B．3,4 D．4,3 【解析】

由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．

【答案】

D

2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为

(

) A．[－2,1] C．[0,1] 【解析】

由f(－2)·f(1)<0知初始区间可以取[－2,1]．

【答案】

A 3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似解，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的2＋4中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．

2【解析】

∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2,3)．

【答案】

(2,3) 4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度为0.1)．

【解】

设f(x)＝x2－2x－1，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：

端点(中点)

x1＝2＋3＝2.5

2端点或中点的

函数值的符号

f(2)<0，f(3)>0

f(2.5)>0

取值区间

(2,3) (2,2.5) B．[－1,0] D．[1,2] 2＋2.5x2＝＝2.25

22.25＋2.5x3＝＝2.375

22.375＋2.5x4＝＝2.4375

2f(2.25)<0

(2.25,2.5) f(2.375)<0

f(2.4375)>0

(2.375,2.5) (2.375,2.4375) 由上表的计算可知，|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1.因此方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4375. 课后检测

一、选择题

1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(

)

【解析】

根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．

【答案】

C 2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示：

x f(x)

0.6

1.16

1.0

1.00

1.4

0.68

1.8

0.24

2.2

－0.25

2.6

－0.70

3.0 －1.00 则函数f(x)的一个零点所在的区间是(

) A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2) B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0) 【解析】

∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)<0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C. 【答案】

C 3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为(

) A．(0,0.5)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125) 【解析】

∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f【答案】

A 4．下面关于二分法的叙述，正确的是(

) A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循

D．只有在求函数零点时才用二分法

0＋0.52＝f(0.25)．

【解析】

A不正确，二分法只能求变号零点的近似值．

B正确，因为二分法的近似解取决于精确度ε. C不正确，二分法每次均是取(a，b)的中点，并验证|a－b|<ε是否成立，故二分法有规律可循．

D不正确，二分法思想应用广泛，可以应用于生产实际中．

【答案】

B 5．(2014·合肥高一检测)函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为(

) A．(－2,0) C．[－2,0] 【解析】

由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0∴0

B 二、填空题

36．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则2下一个含根的区间是________．

331【解析】

令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f＝ln－>0，∴下一22231，. 个含根的区间是231，

【答案】

27．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，则可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．

【解析】

因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，

所以[0.75,0.6875]内的任意一个值都可作为方程的近似解．

【答案】

0.75(答案不唯一) 8．(2014·广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．

B．(0,2) D．[0,2]

图3－1－2 6464【解析】

第1次取中点把焊点数减半为＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为246464＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为＝4(个)，816

6464第5次取中点把焊点数减半为＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为＝1(个)，所以至3264多需要检测的次数是6. 【答案】

6 三、解答题

9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下：

f(1.600 0) ＝0.200

f(1.562 5) ＝0.003

f(1.587 5) ＝0.133

f(1.556 2) ＝－0.029

f(1.575 0) ＝0.067 f(1.550 0) ＝－0.060 根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解(精解度0.01)．

【解】

因为f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，所以函数的零点在区间(1.556 2,15 625)内，

因为|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，

所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.562 5. 10．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．

【解】

图象如图所示，

因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．

11．在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来．

【解】

把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来.