小结教学设计方案

参考高三第二轮复习资料《三维设设》

重点增分专题一

函数的图象与性质

教学目标：熟练掌握给式辨图与给图辨式类小题的解题技巧

掌握根据图像解决函数性质问题

教学方法：例题讲解

教学过程：

题型一

函数图象的识别

ex－ex[例1]

(1))函数f(x)＝的图象大致为(

) x2－

(2)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是(

) A．y＝xln x

B．y＝xln x－x＋1 1C．y＝ln x＋－1 xD．y＝－ln x＋x－1 x－x[解析]

(1)∵y＝ex－e－是奇函数，y＝x2是偶函数，

ex－ex∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

x21当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．

e111又e>2，∴<，∴e－>1，排除C选项．故选B. e2e(2)对于选项A，当x＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln e＝1，由图象可知选项A不符合题意；对于选项B，当x11＝e时，eln e－e＋1＝1，由图象可知选项B不符合题意；对于选项C，当x＝e时，ln e＋－1＝＜1，由ee图象可知选项C不符合题意，故选D.

[答案]

(1)B

(2)D

[解题方略] 寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置

知式选图

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性

④从函数的周期性，判断图象的循环往复

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域

知图选式

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性

③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性

④从图象的循环往复，观察函数的周期性

题型二

函数图象的应用

[例2]

(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(

) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) (2)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是(

) A．[－e，＋∞)

C．[－2，＋∞)

B．[－ln 2，＋∞) 1－，0

D.2[解析]

(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，

x2－2x，x≥0，得f(x)＝

2－x－2x，x＜0，

作出函数f(x)的图象，

如图，观察图象可知，

函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

3(2)如图所示，在同一坐标系中作出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的2由图象可知，在[0,1]上，

3x2＋1≤2x＜x2＋恒成立，

2图象，

3即1≤2x－x2＜，

2当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，

3∴1≤g(x)＜，

2∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2，

则实数a的取值范围是[－2，＋∞)．

[答案]

(1)C

(2)C [解题方略]

1．利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．

2．利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

函数的性质及应用

[典例]

定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为(

) A．(－∞，－2)∪(－1,0) B．(0，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－2，－1)∪(0，＋∞) [解析]

由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)＞0，可得－1＜x＋1＜0或x－2＜x＜－1或x＞0，所以f(x＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．

[答案]

D

1．本例中条件变为：若f(x)为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为________．

解析：由f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，

且f(－1)＝0，得f(1)＝0. 由f(x＋1)＞0，得|x＋1|<1. 解得－2

所以f(x＋1)的解集为(－2,0)．

可得f(1)＝0，＋1＞1，解得

答案：(－2,0) 2．已知函数g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f(x)＝g(|x|)，若f(log2x)＋f(log1x)≤2f(1)，则实数x2的取值范围为________．

解析：因为f(x)＝g(|x|)，所以函数f(x)是偶函数，又因为g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，0)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．

又因为log1x＝－log2x，所以f(log2x)＋f(log1x)≤2f(1)等价于f(log2x)≤f(1)，

221所以－1≤log2x≤1，解得≤x≤2，

21所以实数x的取值范围为2，2. 1答案：2，2

3x，x≤0，3．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，函数f(x)＝若f(2gx，x＞0，

－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围为________．

解析：因为奇函数g(x)满足当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，

所以当x＞0时，－x<0，g(－x)＝－lg(1＋x)，

所以当x＞0时，g(x)＝－g(－x)＝lg(1＋x)，

3x，x≤0，所以f(x)＝

lg1＋x，x＞0.

因为f(x)在其定义域上是增函数，

所以f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，

解得－2

所以实数x的取值范围为(－2,1)．

答案：(－2,1)

[解题方略] 1．函数3个性质及应用

具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联奇偶性

系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x) 单调性

周期性

可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性

利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解

2．函数性质综合应用的注意点

(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．

(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

[多练强化]

1．(2018·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则(

) A．f(0)＞f(log32)＞f(－log23) B．f(log32)＞f(0)＞f(－log23) C．f(－log23)＞f(log32)＞f(0) D．f(－log23)＞f(0)＞f(log32) 解析：选C

∵log23＞log22＝1＝log33＞log32＞0，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)＞f(log32)＞f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)＞f(log32)＞f(0)，故选C. 2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(

) A．y＝ln(1－x) C．y＝ln(1＋x)

B．y＝ln(2－x)

D．y＝ln(2＋x) a解析：选B

函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y2＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

) A．－50

C．2

B．0

D．50 解析：选C

法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(1－x)＝－f(x－1)．

由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. π法二：由题意可设f(x)＝2sin作出f(x)的部分图象如图所示．由2x，一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. 4．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是(

) A．f(x－1)＋1是偶函数

C．f(x＋1)＋1是偶函数

B．f(x－1)－1是奇函数

D．f(x＋1)－1是奇函数

图可知，f(x)的f(4)]＋f(49)＋解析：选D

法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D. 法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D.

数学抽象——抽象函数与函数的三大性质

31x＋＝f(x)，当x∈0，时，f(x)＝log1

(1－x)，则f(x)[典例]

定义在R上的奇函数f(x)满足f22231，上是(

) 在区间2A．减函数且f(x)>0

C．增函数且f(x)>0

B．减函数且f(x)<0

D．增函数且f(x)<0 10，时，由f(x)＝log1

(1－x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所[解析]

当x∈22133－，0上函数f(x)也单调递增，且f(x)<0.由fx＋＝f(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间以在区间2221，3上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D. 2[答案]

D [素养通路]

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．

3x＋＝f(x)得知f(x)的周期，进而得出f(x)在区本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f231，上的性质．考查了数学抽象这一核心素养．

间2