小结公开课教案

函数的基本性质(小结第1课时) 汕头市潮阳一中明光学校

郑伯金

一．教学目标

1．知识与技能：

复习函数的基本性质．

学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2．过程与方法：

通过实例，使学生学会解决函数的基本性质的问题，特别学会借助函数的图象解决问题，有利于培养以形识数的解题意识．

3．情态与价值

利用函数的图象理解函数的基本性质，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．

二．教学重点和难点

教学重点：复习函数的基本性质

教学难点：利用函数的图像理解函数的基本性质．

三．学法与教学用具

1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．

2．教学用具：多媒体手段

四．知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总: 1.1函数的奇偶性

（1）函数的奇偶性的定义：

1

对于函数f(x)定义域内定义域内任意一个x，若有f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数；若有f(x)f(x)，那么函数f(x)为偶函数

（2）奇偶函数的性质：

①定义域关于原点对称；

②偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；

③

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

④

f(x)为偶函数f(x)f(|x|)．

⑤若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0．

⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性. 1.2函数的单调性

（1）单调性定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为A. 区间IA. 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2),那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的单调增区间．

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．学%科网

（2）函数单调性判定方法

①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论

②运算法则法：如果函数f(x)和g(x)在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；

③导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数. ④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数. ⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.

2

(3)单调性应用：已知含参数的可导函数f(x)在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上f(x)＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上. 1.3对称性与周期性

（1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

（2）关于函数周期性常用的结论

①若满足f(x＋a)＝－fx，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝fx，所以2a是函数的一个周期(a0)；

②若满足f(x＋a)＝11，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝

＝f(x)，所以2a是f(x)f(xa)函数的一个周期(a0)；

③若函数满足f(xa)＝-1，同理可得2a是函数的一个周期(a0).

f(x)④如果yf(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(xnT)f(x)(nZ)．

⑤函数图像关于xa,xb轴对称T2(ab)．

⑥函数图像关于a,0,b,0中心对称T2(ab)．

⑦函数图像关于xa轴对称，关于b,0中心对称T4(ab)．

（3）函数yf(x)的图象的对称性结论

①若函数yf(x)关于xa对称对定义域内任意x都有f(ax)=f(ax)对定义域内任意x都有f(x)=f(2ax)yf(xa)是偶函数；

②函数yf(x)关于点（a，0）对定义域内任意x都有f(ax)=－f(ax)f(2ax)=－f(x)yf(xa)是奇函数；

3

③若函数yf(x)对定义域内任意x都有f(xa)f(bx),则函数f(x)的对称轴是xab；

2④若函数yf(x)对定义域内任意x都有f(xa)f(bx),则函数f(x)的对称轴中心为(ab,0)；

2⑤函数yf(|xa|)关于xa对称. 1.4.函数图像及其应用

（1）函数yf(x)的图象变换

①将函数yf(x)图像向左(a0)(向右(a0))|a|单位yf((xa))的图象；

②将函数yf(x)图像向上(b0)(向右(b0))|b|单位yf(x)b的图象；

③将函数yf(x)图像x轴下方部分沿x轴对折到x轴上方y|f(x)|的图象；

④将函数yf(x)图像擦除y轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折yf(|x|)的图象；

⑤将函数yf(x)图上所有点的横坐标变为原来的1倍yf(x)的图象; ⑥将函数yf(x)图上所有点的纵坐标变为原来的A倍yAf(x)的图象. （2）函数图象的识别策略：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除. 2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.

五．教学思路

考点一 函数的单调性

考向突破

考向1 求函数的单调区间

4

例1

(2017课标Ⅱ文,8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (　　)A.(-∞,-2)　

B.(-∞,1)　

C.(1,+∞)　

D.(4,+∞)解析　由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.设t=x2-2x-8,则y=ln t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8在定义域内的单调递增区间.∵函数t=x2-2x-8在定义域内的单调递增区间为(4,+∞),∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.

考向2 函数单调性的应用

例2

(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　)A.a

B.c

C.b

D.b

奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1

)>f(x2)>0,∴x1

f(x1)>x2

f(x2),∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).∵2

(2015湖南,5)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 (　　)A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

解析　定义域为x∈(-1,1).∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.又∵f '(x)= + = 111x(1x)2= ,x∈(-1,1),1x1x1x21x2

∴f '(x)在定义域内恒大于0,∴f(x)在(0,1)上是增函数.

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考点二 函数的奇偶性与周期性

考向突破

考向1 奇偶性的判定

例1

(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是 (　　)A.y= x　

B.y=|sin x|　

C.y=cos x　

D.y=ex-e-x

解析

y= x的定义域为[0,+∞),所以y= x为非奇非偶函数;y=|sin x|与y=cos x为偶函数;令y=f(x)=ex-e-x,x∈R,则满足f(-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数,故选D.考向2 奇偶性的应用

例2

(2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= (　　)A.-3　

B.-1　

C.1　

D.3解析　∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.

考向3 函数的周期性及应用

例3

(2018河南安阳模拟,15)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　

.解析　∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(x)=f(4-x),∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,并且是周期为8的周期函数.∵f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上是减函数.据此可画出y=f(x)图象的草图(如图),其图象也关于直线x=-6对称,∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.

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练习2

(2017山西长治二中等五校第四次联考,7)若函数f(x)与函数f(g(x))的奇偶性相同,则称g(x)为f(x)的“同心函数”,那么,在下列给出的函数x21中,为函数

f(x)= x 的“同心函数”的是 (　　)A.g(x)=x+1　

B.g(x)=2x C.g(x)=x2　

D.g(x)=ln xx22x解析　易知函数f(x)是奇函数,对于选项A:当g(x)=x+1时, f(g(x))= ,x1

x≠-1,定义域不关于原点对称,不具有奇偶性.选项B:g(x)=2x时, f(g(x))=4x1x111-x =2- ,定义域为R,关于原点对称,令F(x)=f(g(x)),F(-x)=2- = -22x2x2x2xx=-F(x),为奇函数,所以函数f(x)与函数f(g(x))都是奇函数.则g(x)为f(x)的2x41“同心函数”.选项C:g(x)=x时, f(g(x))= 2,易知为偶函数,与函数f(x)x(lnx)21的奇偶性不相同.选项D:g(x)=ln x时, f(g(x))= ,定义域为(0,1)∪lnx(1,+∞),不关于原点对称,不具有奇偶性,故选B.

练习3

(2017东北三校二模,8)已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为(　　)A.-3　

B.-2　

C.2　

D.3解析　∵f(x-1)是奇函数,∴f(-x-1)=-f(x-1),∵f(x)是偶函数,∴f(-x-1)=f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x), f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的函数,则f(5)=f(1), f(6)=f(2)=3,当x=-1时,由f(x+2)=-f(x),得f(1)=-f(-1)=-f(1),即f(1)=0,∴f(5)+f(6)=3,故选D.

六．归纳小结，整体认识

本节主要复习回顾了函数的基本性质中的单调性、奇偶性、周期性，体会了利用函数的图像理解函数的基本性质，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个重要思路，数形结合是本节的重要思想．

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