小结优秀教案案例

幂函数教学设计

(《人教版高中数学·必修1·第二章·第三节》）

一、

课型

新授课。

二、

教学目标

1. 知识目标：

（1）了解幂函数的概念； （2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2. 能力目标：

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3. 情感目标：

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

三、

教学重点及难点

教学重点：

从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并做简单应用。

教学难点：

引导学生概括出幂函数性质。

四、

教学方法

归纳总结，数形结合，分析验证。

五、

教学媒体

幻灯片、黑板

六、

教学过程

教学基本流程 从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→

画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业

(一)实例观察,引入新课

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元，

P是W的函数。 （y=x）

(2)如果正方形的边长为

a,那么正方形的面积S=a2

，S是a的函数。 （y=x2）

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3

，S是a的函数。 （y=x3）

(4)如果一个正方形场地的面积为

S,那么正方形的边长a=s1∕2, a是S的函∕数。（y=x12）

(5)如果某人

t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1, V是t的函数。（y=x-1）

问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应：底数都是自变量，指数都是常数。

设计意图

引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.

由学生讨论、总结，得出上述问题中涉及到的函数，都是形如y=xa的函数，其中x是自变量，α是常数。

(二)类比联想,探究新知

1.幂函数的定义: 一般地,函数y=xa叫做幂函数,其中x为自变量ɑ

为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = xa的形式,其特征可归纳为“系数为1只有1项”。

（让学生判断y=2x3 y=x2+x

y=xx y=x-2等是否为幂函数）

例题1.已知函数f(x)(m1)xm24m3

是幂函数，求m的值。

设计意图

加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解。

2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）。

找出典型的函数作为代表：

y=x y=x y=x yx y=x-1

在幻灯片上给出以上五个函数的图像，引导学生观察其性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）

让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像，并观察图像

23 12

问题二：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？

学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正。

问题三：所有图像都过哪些点，为什么？

学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1。

问题四:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？

学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义。

问题五：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？

学生反应：当01时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来。

教师活动：在01时，指数大的函数值就大。

总结

幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质

不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：

y=x2

y=x3

y=x-1

y=

y=x

定义域

值域

单调性

R R 增

R [0，+∞) (-∞,0)增

[0，+∞)减

偶

R R 增

[0，+∞) [0，+∞) 增

{x︱x≠0} {y︱y≠0} (-∞,0)减

（0+∞)减

非奇非偶

奇

奇偶性

奇

奇

公共点

（1,1）

设计意图

通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受。

（三）新知应用

练习1 证明幂函数y=证明：在[0，+∞)上是增函数

教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断

练习2

比较下列各组数种两个值的大小

（1） 5.20.2 5.20.1 （2） 3.70.9

3.20.9

（3） 1.72.5

1.83.5

解：(1) ∵y= 5.2x是增函数

∵0.1<0.2 ∴ 5.20.1 < 5.20.2 (2) ∵ y=x0.9在(0,+∞)内是增函数

∵ 3.2<3.7∴ 3.20.9 <3.70.9 （3） 1.72.5<1.82.5<1.83.5 设计意图

增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化。

（四）课堂小结，归纳提升

1.知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质。

2.思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法。

（五）课后作业，巩固训练

P79习题2.3： 1，2，3. 七、

板书设计

§2.3幂函数

一．幂函数的定义

二．幂函数的性质

三．幂函数的图像

例题:

四．常见的5类幂函数

例1

例2 五．总结

例3

投影仪

八、

教学反思

本节课从设计上主要为了体现新知和方法的构建过程，在学生的作业和课后反应来看，对本节课的知识内容和思想方法掌握还算不错，不过在对立体的讲解和选题上感觉还过于浅显，不易达到学生能力提升的教学目标。