习题3.1特级教师教学实录

§1

函数与方程

1．1

利用函数性质判定方程解的存在

学习目标

1.了解函数的零点与方程的根的关系；2.会判断函数零点的存在性；3.初步理解函数与方程思想．

预习教材P115－116完成下列问题：

知识点一

函数的零点

定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．

【预习评价】

1．函数的零点是点吗？

提示

函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．

2．结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由．

提示

不一定．因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点．

如：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点．

知识点二

函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

【预习评价】

1．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值等于(

) A．4

1C．－

4B．－4 1D．

4解析

因为4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，

1所以a×42－2log24＝0，解得a＝．

4答案

D 2．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．

解析

令x2－5x＝0，解得x1＝0或x2＝5，所以函数f(x)＝x2－5x的零点是0和5．

答案

0和5 知识点三

函数零点存在性的判断

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

【预习评价】

1．若f(a)·f(b)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？

提示

不一定．如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点，但f(2)·f(－2)>0．

2．结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？

提示

方法一

利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点．

方法二

利用函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数．

方法三

结合函数的单调性．若函数在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，利用f(a)·f(b)<0，结合单调性可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．

方法四

转化成两个函数图像的交点问题．

题型一

求函数的零点

【例1】

判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x1－3；

－x2＋4x－12(4)f(x)＝．

x－2解

(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，

得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6．

(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，

所以函数的零点是－1．

(3)解方程f(x)＝2x1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26．

－x2＋4x－12(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6．

x－2

规律方法

求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．

【训练1】

函数y＝x－1的零点是(

) A．(1,0)

C．1

B．0 D．不存在

解析

令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1．

答案

C 题型二

判断函数零点所在区间

【例2】

已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(

) A．(3,4)

C．(1,2)

B．(2,3) D．(0,1) 解析

∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0．

∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内．

答案

C 规律方法

1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像．

2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．

【训练2】

函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(

) A．(－2，－1)

C．(0,1)

解析

∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，

f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0,1)内有零点．

答案

C 题型三

判断函数零点的个数

【例3】

判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

解

方法一

函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图像交点个数．

在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图)．

B．(－1,0)

D．(1,2)

由图像知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图像只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

方法二

由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

规律方法

判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．

【训练3】

函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为(

) A．1

C．0

B．2

D．不能确定

解析

如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图像，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点．

答案

B 互动

探究

【探究1】

关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．

解

法一

(应用求根公式) 方程x2－2ax＋4＝0的两根为

2a±4a2－16x＝＝a±a2－4，

2要使两根均大于1，只需较小根a－a2－4>1即可．

552，．

解得2≤a<.即实数a的取值范围是22法二

(应用根与系数的关系) 设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，

题型四

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题

则有x1＋x2＝2a，x1x2＝4.①

要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，

x1－1＋x2－1>0，则需满足x1－1x2－1>0，Δ≥0.

5将①代入上述不等式组，解得2≤a<．

252，．

即实数a的取值范围是2法三

(应用二次函数的图像) 设f(x)＝x2－2ax＋4，图像如图所示．

Δ≥0，f1>0，由图可知－2a－2>1，5解得2≤a<．

252，．

即实数a的取值范围是2【探究2】

已知关于x的一元二方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．

解

由题意知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图，观察图像可得：

f－1＝2>0，f0＝2m＋1<0，f1＝4m＋2<0，f2＝6m＋5>0，

51解得－

62

51－，－．

所以m的取值范围为26【探究3】

若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．

m解

令f(x)＝x2＋mx＋m－1，其图像的对称轴为直线x＝－．

2∵方程x2＋mx＋m－1＝0有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，

∴函数f(x)＝x2＋mx＋m－1有两个零点，且两零点的和小于0.画出函数的大致图像，如图所示．

f0<0，∴m解得0

－<0，2故实数m的取值范围是(0,1)．

【探究4】

关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时：

(1)函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点；

(2)方程的一根大于1，一根小于1．

1解

(1)当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－，符合题意；

2当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意知方程有两个相等的实数根，

1所以Δ＝12a＋4＝0.解得a＝－．

31综上可知，当a＝0或a＝－时，函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点．

3(2)因为方程有一根大于1，一根小于1，所以图像大致如图所示．令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，

a>0，a<0，所以必须满足或

f1<0f1>0.

解得a>0.故当a>0时，方程一根大于1，一根小于1．

规律方法

1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向．

2．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示. 根的分布

图像

等价条件

x1

fk>0b－2a0b－2a>kΔ>0Δ>0k

续表

1

x1

f(k)<0 x1，x2∈(k1，k2)

fk>0fk>0bk<－2a

x1，x2(x1≠x2)中有且仅有一个在(k1，k2)内

bk1＋k2f(k1)·f(k2)<0或f(k1)＝0，k1<－<或2a2k1＋k2bf(k2)＝0，<－

22a

课堂达标

1．函数y＝4x－2的零点是(

) A．2

1C．2，0

1解析

令y＝4x－2＝0，得x＝．

21∴函数y＝4x－2的零点为．

2答案

D B．(－2,0)

1D．

2

2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(

) A．方程f(x)＝0一定有实数解

B．方程f(x)＝0一定无实数解

C．方程f(x)＝0一定有两实数解

D．方程f(x)＝0可能无实数解

解析

∵函数f(x)的图像在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．

答案

D 3．方程2x－x2＝0的解的个数是________．

解析

在同一直角坐标系中画出函数y＝2x及y＝x2的图像，可看出两图像有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3．

答案

3 4．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．

解析

由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2．

答案

(－∞，2) 5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

x＋3(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4．

xx＋3解

(1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3．

x所以函数f(x)的零点是－3．

(2)令f(x)＝0即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故原函数无零点．

课堂小结

1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．

3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．