信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀教学设计

课 题：2．1椭圆及其标准方程（一）

授课教师：章燕

教学目标：

1．通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导方法；

2．通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；

3．通过教学，培养学生

良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神．

教学重点：椭圆的定义和标准方程

教学难点：椭圆标准方程的推导

教学工具：计算机、实物投影仪

教学方法：启发式、探究式

教学过程：

一、导入新课 1．引入新课

（1）大屏幕展示图片．

板书：2．1椭圆及其标准方程（一）．

2．让学生直观认识椭圆

（1）“压扁”圆成椭圆

用计算机课件模拟演示将圆“压扁”成椭圆的过程（如图2）．类比圆的画法，导出椭圆的画法：将细绳的两端固定在硬纸板上的F1,F2两点，当绳长大于两

M

M

F

F1

F2

点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆．

图3．师生共同画图体验

请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，自己动手画椭圆．然后教师用多媒体演示画椭圆的过程．

二、探究新知

1．椭圆的定义

（1）教师提出问题

在上面的作图过程中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？（两个定点及绳长是不变的，点M的位置是运动变化的）

在此基础上，请学生阐述“绳长不变”的意义．

（2）学生概括椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定

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点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”教学预案：若学生将定义叙述为“与两个定点F1、，这时教师要说明椭圆是平面图形，故应在前面加上“平面内”三个字．然后与学生共同探讨“满足平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹是否一定是椭圆？”由此引发学生大胆想象、质疑、推理，自我探究．教师再通过计算机课件演示支持质疑，说明若这个常数等于F1F2，则点M的轨迹是线段F1F2；若这个常数小于F1F2，则点M的轨迹不存在；若这个常数大于F1F2，则点M的轨迹是椭圆．所以要使轨迹是椭圆，必须添加条件：“此常数大于F1F2”．

（3）强调定义的条件

强调“平面内”三个字不可少，条件“常数大于F1F2”不可缺．

2．椭圆应用的实例

利用计算机课件演示，展现生活中椭圆的实例．

3.椭圆的标准方程

（1）复习求动点的轨迹方程的基本步骤

（由学生回答，不正确的教师给予纠正）

（2）椭圆标准方程的探求

（ⅰ）建系

y以两定点F1、F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图4）．设F1F22cc00，F2c，0．

，则F1c，（ⅱ）设点

设Mx，y为椭圆上的任意一点，M与F1、F2的

距离的和等于2a(2a2c)．

由定义得到椭圆上点M的集合为（图PMMF1MF22a（ⅲ）列式

将条件式．

MF1MF22a代数化，得

xc2y2xc2y22a （*）

（ⅳ）化简

先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视．

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①教学预案：若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到

a2c2x2a2y2a2a2c2 （* *）

在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述．

然后教师提出：有无较为简单的方法化简（*）式呢？

请学生观察式子xc2y2xc2y22a，

引导学生联想等差中项的定义：“m,p,n成等差数列mn2p”，

知xc2y2，a，xc2y2成等差数列，

可设

xc2y2xc2y2ad,ad.

再设法消去d，即可将（*）式化简为（* *）式．

若学生先想到利用等差中项的概念式化简得（* *）式，则师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得（* *）式．

②b的引入

22由椭圆的定义可知，2a2c,ac0，

让点M运动到y轴正半轴上（如图5），由学生观察图形自行获得a，c的几何意义，进而自然222bbac引进，此时，于是得bxayab，

22两边同时除以ab，得椭圆的标准方程为

222222y

M

bF1

a

c

F2x2y221ab02ab．

（3）标准方程的说明

（ⅰ）椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；

（ⅱ）上述方程表示焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中acb；

222O x

图图5

x2y2212ab（ⅲ）以上的推导过程，没有证明“以满足方程的实数对(x,y)为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；

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y2x2212yF(0,c),F(0,c)b2（ⅳ）如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为1,则椭圆方程为ax2y2ab0，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程a2b21中的x,y对换而得到的；

2（ⅴ）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与x与y项分母的大小2x即可．若项分母大，则焦点在x轴上；若y项分母大，则焦点在y轴上．

22三、举例

例

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

0、4，0，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；

（1）两个焦点的坐标分别是4，35，2、0，2，并且经过点22．

（2）两个焦点的坐标分别是0，分析：解决问题的关键是求出a、b，对于（1），易知椭圆中心在原点，焦点在x根据已知条件设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，由已知条件及椭圆的定义求出a值，再根据已知条件22x2y212bbac259及、、之间的关系求出的值，从而写出椭圆的标准方程为；

35，2、对于（2），有两种解题思路，思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点22到两个焦点0，0，2的距离之和为常数2a）求出a值，再结合已知条件和a、b、c间的关系求出b2的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆方程的标准方程35y2x2，212ab0ab，再将椭圆上点的坐标22代入此方程，并结合a、b、c间的关y2x2122ab系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为106．

四．小结

1．知识与技能层面的小结

椭圆的定义；椭圆的标准方程；a、b、c之间的关系；

2. 过程与方法层面的小结

包括本节课所涉及到的数形结合的思想、化归与转化思想以及思维能力和运算能力；

3．情感、态度、价值观层面的小结．

五、作业

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1．课本习题2.1 第2题、第3题

x2y2y2x2212122yxabab2．思考题：比较焦点分别在轴上、轴上的两种椭圆的标准方程、，归纳它们各自的特点及相同点、不同点．

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