单项式除以单项式优秀公开课教案

1．7

整式的除法

第1课时

单项式除以单项式

1．在具体情境中了解整式除法的意义，理解整式除法法则，会利用法则进行整式除法的运算．

2．经历探索整式除法法则的过程，理解整式除法运算的算理，发展学生有条理的思考能力和语言表达能力．

3．培养观察、比较、操作、猜想、归纳等思维方法，培养探索意识和合作交流意识．

重点

整式除法法则及其应用．

难点

理解运算法则及其探索过程．

一、创设情境，导入新知

【师】大家想一想，我们在第3节课里学习了一个什么知识？

【生】同底数幂的除法．

【师】试试看，你还记得它的定义吗？

mnm－n【生】同底数幂相除，底数不变，指数相减．用字母可以表示为a÷a＝a(a≠0，m，n都是正整数，m＞n)．

1115【师】回答得真棒！如果摩托车发出的声音强度10，喷气式飞机发出的声音强度10，那么喷气式飞机发出的声音强度是摩托车发出的声音强度的多少倍？

4【生】10倍．

【师】怎么算的？

151115－114【生】10÷10＝10＝10. 【活动一】激趣导学

【课件展示】

52013年12月16日，中国“嫦娥三号”成功登月，已知月球距离地球大约3.84×102千米，一架飞机的速度约为8×10千米/时，如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？

【生】思考．

【师】下面哪位同学来说一说怎么做的？

52【生1】(3.84×10)÷(8×10)＝384000÷800＝480小时．

525232【生2】(3.84×10)÷(8×10)＝(3.84÷8)×(10÷10)＝0.48×10＝4.8×10小时．

22【师】回答得真棒！那么，根据以上的计算，你会计算8mn÷4mn吗？

【生】思考．

【师】这就是我们今天将要学习的整式的除法 (师板书课题)．

二、合作探究，感受新知

【课件展示】

【活动二】诱思自学

22【师】同学们，你能根据你所学过的知识猜测一下8mn÷4mn的结果吗？3分钟后看看谁找到答案．

【活动三】大胆猜想

【师】通过刚才的自主学习，同学们一定是收获多多，下面哪位同学来说一说怎么做的？

2222【生1】8mn÷4mn＝(8÷4)·(m÷m)·(n÷n)＝2mn. 【师】非常好，解法与结果都是正确的，好，根据这道题你能用类似的方法解决下列各题吗？

322222322(1)2a÷a；(2)－12ab÷6ab；(3)10xy÷5xy. 3232【生1】2a÷a＝(2÷1)·(a÷a)＝2a. 222222【生2】－12ab÷6ab＝(－12÷6)·(a÷a)·(b÷b)＝－2b. 23222232【生3】10xy÷5xy＝(10÷5)·(x÷x)·(y÷y)＝2y. 【师】同学们做得非常好，你发现这些题的解法有没有共同的特征？

【生】系数与系数相除，同底数幂分别相除．

22222【师】同学们说得很好，如果老师把8mn÷4mn这道题改成8amn÷4mn，这又怎么解呢？

2222222【生】8amn÷4mn＝(8÷4)·a·(m÷m)·(n÷n)＝2amn. 【师】你又发现了什么？

【生】被除式里含有的字母连同它的指数直接写在了商里．

【师】对，你们所发现的正是单项式与单项式相除解法的基本原则，老师很高兴，完整的法则请同学们看一下大屏幕：(板书公式及法则)：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

合作探究

1．直接相除类型的应用

3232【课件展示】出示例1：计算(1)－xy÷3xy；

5(2)10abc÷5abc. 【师】请同学们先独立完成这几题，再说说你是怎样做的．

3232【生1】第(1)题：直接按照单项式与单项式相除法则，

所以－xy÷3xy＝54323（－3）÷3·(x2÷x2)·(y3÷y)＝－1y2. 55【生2】第(2)题：我也是按照单项式与单项式相除法则，

所以10abc÷5abc＝43322(10÷5)·(a÷a)·(b÷b)·(c÷c)＝2abc. 32随堂练习一：计算(1)3ab÷2a；

1222(2)－2abc÷ab；

2(3)10xyz÷2xy. 2．有乘方的先算乘方，后相除．

4522【课件展示】出示例2：计算(1)8xy÷(2xy)；

223(2)(2abc)÷5abc. 45234323

【师】请同学们先独立完成这几题，再说说你是怎样做的．

22【生1】第(1)题：(2xy)是乘方，所以先算乘方，然后再按照单项式与单项式相除法45224542则，所以8xy÷(2xy)＝8xy÷4xy＝2y. 22【生2】第(2)题：(2abc)是乘方，所以先算乘方，然后再按照单项式与单项式相除法42234223则，所以(2abc)÷5abc＝4abc÷5abc＝abc. 5【师】你同意他们的做法吗？

【生】同意！(鼓掌) 32随堂练习二：计算(1)4ab÷(2a)；

12222453(2)－(2abc)÷ab；(3)10xyz÷(2xy). 23．底数是多项式的整体计算．

类型一：底数是相同的．

42【课件展示】出示例3：计算(2a＋b)÷(2a＋b). 【师】请同学们先独立完成这道题，再说说你是怎样做的．

【生】底数是多项式，所以直接相除，结果是完全平方式，所以接着展开即可，所以(2a42222＋b)÷(2a＋b)＝(2a＋b)＝4a＋4ab＋b. 【师】你同意他们的做法吗？

【生】同意！(鼓掌) 类型二：底数是相反的．

52【课件展示】出示例4：计算(a－b)÷(b－a). 【师】请同学们先独立完成这道题，再说说你是怎样做的．

【生】底数是多项式，但是相反的关系，所以应改写成相同的底数，根据奇数次幂改写52523后要加负号，偶次幂的直接改即可，所以(a－b)÷(b－a)＝(a－b)÷(a－b)＝(a－b). 【师】你同意他们的做法吗？

【生】同意！(鼓掌) 132随堂练习三：计算：(1)2(x＋y)÷(y＋x)；

2(2)(x－y)÷(y－x). 4．混合运算按运算顺序算．

23243【课件展示】出示例5：计算(2xy)·(－7xy)÷14xy. 【师】请同学们先独立完成这道题，再说说你是怎样做的．

2324363【生】有乘方先算乘方，然后按运算顺序进行，所以(2xy)·(－7xy)÷14xy＝8xy·(－2437543327xy)÷14xy＝－56xy÷14xy＝－4xy. 【师】你同意他们的做法吗？

【生】同意！(鼓掌) 2233随堂练习四：计算(3xy)·(2xy)÷(6xy)．

5．生活应用题

7【课件展示】出示例6：一颗人造地球卫星的速度是2.88×10米/时，一架喷气式飞机6的速度是1.8×10米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机速度的______倍．

【师】请同学们先独立完成这道题，再说说你是怎样做的．

【生】用人造地球卫星的速度除以这架喷气式飞机速度即可，由题意得，7676(2.88×10)÷(1.8×10)＝(2.88÷1.8)÷(10÷10)＝16(倍)．

【师】你同意他们的做法吗？

53

【生】同意！(鼓掌) 12随堂练习五：我国陆地面积居世界第三位，约为9.6×10平方米，按13亿人口计算，我国人口人均可占有的陆地面积约为多少平方米？

三、尝试练习，掌握新知

指导学生完成《·高效课堂》“自主检测”内容．

四、课堂小结，梳理新知

【师】这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在数学笔记上．

本节课我掌握的概念： ________________；我学会的方法：________________．

五、深入练习，巩固新知

学生完成《·高效课堂》“课时作业”部分．

第2课时

多项式除以单项式

1．经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程，会进行多项式除以单项式的除法运算．

2．探索多项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验．

3．理解多项式除以单项式的除法算理，发展有条理的思考及其表达能力．

重点

多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用．

难点

探索多项式除以单项式的运算法则的过程．

一、创设情境，导入新知

如图，任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果．

师：任意给一个非零数，体会程序(算法)的思想．

22生：我输入m＝3，按下列程序可输出3，即程序：m→m→m＋m→m＋1→m. 如：m＝3→9→12→4→3；

m＝4→16→20→5→4；

m＝－1→1→0→0→－1.

师：为什么按上述程序输入m的值是几，输出的也是几？你能用算式说明其中的道理吗？

22生：上面的程序可用一个算式表示，即(m

＋m)÷m－1.而算式中的(m＋m)÷m是多项式除以单项式，……

二、合作探究，感受新知

(一)诱思自学

探求多项式除以单项式的除法法则：

1.计算下列各题，说说你的理由．

23(1)(ad＋bd)÷d＝______；(2)(ab＋3ab)÷a＝______ ；(3)(xy－2xy)÷(xy)＝______．

师：上节课我们学习了单项式除以单项式，这节课我们就来学习多项式除以单项式．

2凭同学们的数学经验，我们先来试着做第1题及(m＋m)÷m.然后同学之间交流．

(学生带着问题自学，教师巡视．对个别没有自学意识等待老师“授之以渔”的学生进行鼓励：本节课知识并不难，你只要认真看、大胆说，这节课最棒的肯定是你) (二)成果展示

方法1：类比有理数的除法．

生：我是这样考虑的，类比数的除法把除以单项式看成是乘这个单项式的倒数，即：

1(1)(ad＋bd)÷d＝(ad＋bd)×

d ＝＋(利用乘法分配律) ＝a＋b；

2(2)(ab＋3ab)÷a

12 ＝(ab＋3ab)×

adbddda112 ＝ab×＋3ab×(利用乘法分配律) aaa2b3ab ＝＋

aa ＝ab＋3b；

3(3)(xy－2xy)÷(xy) 13 ＝(xy－2xy)×

xyxy32xy ＝－

xyxy ＝y－2. 同样道理，按1题给出的程序为什么输进m是几，输出也是几呢？

2原因是：(m＋m)÷m－1 12 ＝(m＋m)×－1 2mm2m ＝＋－1 mm ＝m. 方法2：利用乘除法的互逆．

生：上面各题的计算，我利用乘法和除法互为逆运算得出，即我们要想计算出(1)中(ad＋bd)÷d是多少，试着想一下：(__)×d＝ad＋bd.逆用乘法分配律就可以得出：(a＋b)×d＝ad＋bd，所以(ad＋bd)÷d＝a＋b；

22同理，第(2)题，由于(ab＋3b)×a＝ab＋3ab，所以(ab＋3ab)÷a＝ab＋3b；

2332 第(3)题，由于(y－2)×xy＝xy－2xy，所以(xy－2xy)÷xy＝y－2. 师生共析：

从以上两个同学的分析，不难得出：

(1)(ad＋bd)÷d＝a＋b＝ad÷d＋bd÷d；

22 (2)(ab＋3ab)÷a＝ab＋3b＝ab÷a＋3ab÷a；

323(3)(xy－2xy)÷(xy)＝y－2＝xy÷(xy)－2xy÷(xy)．

由此，你可以得出什么样的结论？

(三)收获成功

议一议：如何进行多项式除以单项式的运算？

生1：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

生2：其实多项式除以单项式的除法运算可以转化为单项式除以单项式的运算，只要注意每项前面的符号即可．

例题讲解

(一)深化理解

例

计算：

(1)(6ab＋8b)÷(2b); 32(2)(27a－15a＋6a)÷(3a)；

22 (3)(9xy－6xy)÷(3xy)；

1122 (4)(3xy－xy＋xy)÷(－xy)．

22(四生上黑板展示过程，其余独立探究做题，再小组交流，互相点评) 生1：(1)(6ab＋8b)÷(2b) ＝(6ab)÷(2b)＋(8b)÷(2b) ＝3a＋4；

32生2：(2)(27a－15a＋6a)÷(3a) 32 ＝(27a)÷(3a)－(15a)÷(3a)＋(6a)÷(3a) 2 ＝9a－5a＋2；

22生3：(3)(9xy－6xy)÷(3xy) 22 ＝(9xy)÷(3xy)－(6xy)÷(3xy) ＝3x－2y；

1122生4：(4)(3xy－xy＋xy)÷(－xy) 22111122 ＝(3xy)÷(－xy)－(xy)÷(－xy)＋(xy)÷(－xy) 2222 ＝－6x＋2y－1. (二)应用升华

做一做：

小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为

v，所用时间为

t1；第二阶段的平均速度

1为v，所用时间为

t2.下山时，小明的平均速度保持为 4v.已知小明上山的路程和下山的路2程是相同的，问小明下山用了多长时间？

(学生独立思考完成，在小组内点评方法．) 1生1：时间＝路程÷速度．上山路程＝下山路程＝vt1＋vt2. 21t1t22t1＋t2生2：下山时间为：(vt1

＋vt2)÷4v＝＋＝. 2488三、尝试练习，掌握新知

指导学生完成《·高效课堂》“自主检测”内容．

四、课堂小结，梳理新知

师：这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在导学案上．

我探索的规律：______________________；

我学会的方法：______________________；

我还懂得了： ______________________．

(学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励) 五、深入练习，巩固新知

学生完成《·高效课堂》“课时作业”部分．