3.1 勾股定理ppt课件配套教案内容

第1课时

勾股定理及拼图验证

教学设计：

课题

第1课时

勾股定理及拼图验证

知识技能

教

学

目

标

数学思考

问题解决

情感态度

授课人

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性.

通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维.

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情.

教学

探索和证明勾股定理.

重点

教学

用拼图的方法证明勾股定理.

难点

授课

新授课

类型

教具

课时

直尺、三角板，多媒体：PPT课件、电子白板

教学活动

教学

步骤

三条边．

师生活动

前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和问题：三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？

师生活动：教师引导，学生回答．

我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质．研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”(在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”)．直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究的问题．

设计意图

1.学生回忆并回答，为突破本节难点做准备．

2．回顾三角形的内角和是180°以及三角形任何两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系.

回顾

图17－1－15 【课堂引入】

创设情境→激发兴趣

活动

一：

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，创设

情境

它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为导入

数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图新课

案．

从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料，自然地引出本节课

(1)你见过这个图案吗？

图17－1－16 (2)你听说过“勾股定理”吗？

教师出示照片及图片，学生观察图片发表见解．

教师补充说明：

这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲．

在本次活动中，教师应关注：

(1)学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣；

(2)学生对勾股定理的了解程度．

【探究1】

观察特例→发现新知

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500多年前，他在朋友家作客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系．

(1)现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？

(2)你能找出图17－1－17中正方形A、B、C的面积之间的关系吗？

活动

二：

形的三边之间有什么特殊关系？

实践

教师展示图片并提出问题．

探究

学生观察图片，分组交流讨论．

图17－1－17 交流

新知

学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积．

教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

【探究2】

深入探究→交流归纳

(1)等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

如图17－1－18，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，①②中分别有一个直角边分别是3，4和2，3的直角三角形．仿照上一活动，我们以这两个直角三角形的三边为边向外作正方形．

活动

二：

实践

探究

交流

新知

(3)正方形A、B、C所围等腰直角三角的研究内容，同时渗透了爱国主义教育.

1．问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望．

2．渗透从特殊到一般的数学思想．为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.

3.鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验.

4.让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，

图17－1－18 并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益.

(2)想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？

图①

图②

A、B、C面积关系

直角三角形三边关系

A的面积

(单位面积) 16 4 B的面积

(单位面积) 9 9 A＋B＝C

C的面积

(单位面积)

25

13

两直角边的平方和等于斜边的平方

(3)正方形A、B、C面积之间的关系是什么？

(4)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？

学生独立观察并计算各图中正方形A，B，C的面积并完成填表. 教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积. 学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积. 学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积. 在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方. 师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 教师应重点关注：

学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益. 【探究3】

拼图验证→加深理解

(1)观察赵爽弦图，思考：如何利用此图的面积表示式验证命题活动

1？

二：

实践

探究

交流

新知

图17－1－19 (2)仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体长方形，拼成一个新的正方形？

(3)怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？

5.通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生探求新知的欲望．给学生充分的时间与空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性.

图17－1－20 教师展示图片，提出问题．

学生观察图形可得：大正方形面积＝四个全等直角三角形面积＋中间小正方形面积．再由代数恒等变形能得到a2＋b2＝c2，即验证了命题1. 教师指导学生阅读教材24页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的．

学生在弦图验证的基础上，参照教材开展拼图活动，以小组为单位，合作探究．

有的学生会盲目动手，如沿正方形对角线分割等．让学生自己思考、总结、更正，在不断的摸索中找到解决问题的正确方法．

引导学生拼图的关键是：构造以a，b为直角边的直角三角形．结合纸片，即在线段MN上确定一点P，使分得的新线段与已有边长a，b构成需要的直角三角形．

鼓励学生代表作示范演示，展示分割、拼接的过程．

再利用多媒体动画演示．

学生容易想到：未剪之前，图形面积是a2＋b2，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c2.从而得到直角三角形三边的关系：a2＋b2＝c2，再次验证命题1. 教师应重点关注：

(1)学生能否进行合理的分割，对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；

(2)学生能否用语言准确地表达自己的观点．

活动

二：

小结：勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征．

实践

探究

总结定理内容：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长交流

为c，那么a2＋b2＝c2. 新知

教师做简要阐述：人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史，结合本节内容给出定理的概念．向学生对比介绍古今中外对勾股定理的研究成果，指出我国是最早发现勾股定理的国家之一．在西方，勾股定理又称“毕达哥拉斯定理”“驴桥定理”等．

学生谈体会，教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫．

在此次活动中教师应重点关注：

(1)不同层次的学生对知识的理解程度；

6.让学生模拟数学家的思维方式和思维过程，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力．由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.

(2)学生能否从不同方面谈感受；

(3)倾听他人的意见，体会合作学习的必要性．

【应用举例】

例

在直角三角形中，各边的长如图17－1－21，求出未知边的长度．

1.应用举例，让学生对本活动

三：

开放

训练

体现

应用

节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应

图17－1－21 师生总结：通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c＝a＋b，b＝c－a，a＝c－b.在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．

【拓展提升】

勾股定理的其他证法

1．利用下面的两个图形证明定理．

222222用做好铺垫．

2．培养学生规范解题的能力.

图17－1－22 2.根据如图17－1所示，利用面积法证明勾股定理．(总统证法) 活动

三：

开放

训练

体现

应用

1.通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想．

2．发散思维，学会举一反三．

图17－1－23 教师提出问题：上图就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图中的面积吗？

伽菲尔德总统是这样分析的：

1S梯形ABCD＝(a＋b)2，

2111S梯形ABCD＝S△ABE＋S△ECD＋S△AED＝ab＋ab＋c2. 2221111则有(a＋b)2＝ab＋ab＋c2，

2222化简可得a2＋b2＝c2. 活动

四：

【当堂训练】

课堂

1．求下面图形中未知正方形的面积．

总结

反思

1.当堂检测，及时反馈学习效果．

2．针对学生认知的差异设计了有层次的练习题，既3．与前面的弦图验证相呼应，让学生体会数形结合思想，了解勾股定理证法的多样性.

使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最

图17－1－24 2.求出下列各直角三角形中未知边x的长度．

佳发展．

图17－1－25

图17－1－26 3.如图17－1－26所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面15米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少？

4．已知：等边三角形ABC的边长是6 cm，AD为BC边上的高，求AD的长．

小结与作业：

小结：今天我们学了哪些内容：

3．让学生学会思考，培养学生的归纳能力和语言表活动

四：

课堂

总结

反思

达能力．

图17－1－27 4．学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思如图17－1－27，直角三角形ABC的主要性质是：∠C＝90°，想方法；通过梳理所学内容，(用几何语言表示) (1)两锐角之间的关系：__∠A＋∠B＝90°__；

(2)若∠B＝30°，则∠B的对边和斜边的关系：__AB＝2AC__；

(3)三边之间的关系：__AC2＋BC2＝AB2__．

(4)阅读教材，总结教材提供的勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．

作业：教材第28页习题17.1第1，2，3，7题. 形成完整知识结构，培养归纳概括能力.

【知识网络】

利用框架图回顾本节课的知识，更容易使学生形成知识网络.

【教学反思】

①

[授课流程反思] 整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变．新课导入通过讲传说故事来进一步激发学生的学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态. ②[讲授效果反思] 根据教材的特点，本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标．把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的．

活动

③[师生互动反思] 四：

本节课运用的教学方法是“启发探索”式，采用教师引导启发、课堂

总结

学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提反思

供观察、思考、探索、发现的时间和空间．使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，达到收获的目的．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________ 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力.