3.2.1 对数主要内容及教案内容

教学设计

教学内容解析

本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用. 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例

中抽象出一般公式的能力. 教学目标设置

1.知识与技能

（1）掌握对数的换底公式，能推导和证明换底公式；（重点）

（2）会用换底公式进行化简、求值.（难点、易混点）

2.过程与方法

学生通过问题的驱动自主学习、合作探究，经历推导换底公式的过程，提高学生分析问题的能力，培养学生转化思想的能力.21世纪教育网版权所有

3.情感态度与价值观

让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性.21教育网

学生学情分析

对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知

识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的。

教学策略分析

这节课安排了“温故知新”“新知探究”“典例讲解”“当堂检测”“课堂小结”“作业布置”

六个教学环节，它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的要求，完成教学任务的一种教学方法。这种教学方法一般适用于那些与前面知识联系紧密的教学内容。只要学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理就能导出所学内容。如许多定理、公式、性质、法则的教学，采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高，效果好。同时对完善学生的认知过程，提高他们分析解决问题的能力都大有裨益。在课堂上，由于学生的大脑处于高度兴奋、积极思考、欲罢不能的状态下，因而有助于培养和发展学生创造性思维的能力。当然“教学有法，教无定法。”在教学方法上不能千篇一律，应根据不同教材，不同学生而定。21cnjy.com

教学过程

4.2换底公式

温故知新

一、对数的运算法则：

如果a0,a1,M0,N0,则有：

(1)loga(MN)logaMlogaN

(2)loga(M)logaMlogaN

N(3)logaMnnlogaM

二、对数的运算法则应用的前提是什么？

（教师：底数相同）

如果底数不同怎么办？

新知探究

已知对数log864，log28，log264。

1.你能计算出它们各自的值吗？

log8642，log283，log2646

2.log864，log28，log264的值有什么关系吗？

log864log264

log28log215怎么计算？

问题: 科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，设xlog215 ,有

2x15 两边取以10为底的对数,得lg15lg2x 而

lg2xxlg2，所以xlg2lg15

所以xlg15 lg2

这样我们可以用科学计算器中“log”

计算出log215lg153.9068906.

lg2ln15

ln2ln153.9068906因此ln2如果对式两边同时取自然对数得x这样我们可以用科学计算器中“ln”计算出log215log215lg15ln15lg2ln2

以及

log864log264log28

我们能得到什么规律呢？

对数换底公式

logbNlogaNa,b0,a,b1,N0.logab

证明: 设xlogbN,根据对数定义,有

Nbx. 两边取以a为底的对数,得

logaNlogabx. 而logabxxlogab,所以

logaNxlogab. 由于b≠1,则logab0,解出x得xlogaN

logablogaN

logablogbN换底公式好神奇

换成新底可任意

原底加底变分母

真数加底变分子

典例讲解

1.计算：

（1）log927；（2）log23log32；（3）log89log2732

lg27lg333解: (1)log927 lg9lg322(2)log23log32lg3lg21

lg2lg3lg32lg252lg35lg210(3)log89log2732

33lg2lg33lg23lg39当堂检测

1.利用换底公式计算下列各式:

(1)log34log45log53；

(2)log225log34log59。

解：（1）原式lg4lg5lg31

lg3lg4lg5lg25lg4lg9lg52lg22lg32（2）原式8

lg2lg3lg5lg2lg3lg5公式推论：

推论1：logab1

logba证明：由logbN推论2：logambnnlogaN1，令Na即可得到logab

logablogbanlogab

mlogabnnlogabn证明：logamblogab

mlogaamm典例讲解

2.计算：

（1）log23log32；（2）log927；（3）log89log2732

(1)1

33(2)log927log3233log33 22(3)log89log2732log2332log33252510log23log32339

当堂检测

2.计算（课本第86页 练习 2）

1log982log2

log3227;111log3log5.125323

111(2)log2log3log5125323111lglglg125323lg2lg3lg53lg55lg2lg3lg2lg3lg5 15

典例讲解

3.若lg2a,lg3b,请用a,b表示下列各式的值。（1）log36; (2)log35; (3)log1236.解：

(1)log36lg6lg2lg3ablg3lg3b

(3)log1236lg362lg62(lg2lg3)2(ab)lg12lg4lg32lg2lg32ab

当堂检测

3.已知log73a,log72b,试用a,b表示log4849.解log4849

log7492222log748log7(243)log724log734log72log73a4b

课堂小结

本节课我们学到了哪些知识？

有什么收获？

1.对数换底公式：logbN2.两个重要结论：

(1)logbalogab1(2)logambnnlogab；

mlogaNa,b0,a,b1,N0.

logab3.转化思想：

（1）“对数式”与“指数式”的互化

（2）“不同底”化“同底”。

作业布置：

必做题：

1.课本第88页 习题 B组

第四题

2.若log32a,log37b,用a、b表示log2163

选做题

3.已知lgxlgy2lg(x2y)，求log

2x的值

y