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关键词：阅读与思考集合�…教学设计第一课时

正文

新课标高一数学专题讲座

函数的性质

讲座时间：90分钟

授课：

1．函数图象的对称性

（1）奇函数与偶函数：奇函数图象关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。

（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图象关于直线对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。

（3）若函数满足，则的图象就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。

（4）互对称知识：函数的图象关于直线对称。

2．函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）

特别提示：函数的图象和单调区间。

3．函数的周期性

对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1）若是的周期，那么也是它的周期。

（2）若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。

（3）若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。

（4）若函数满足，则是周期为的函数。

4．高斯函数

对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。

高斯函数的常用性质：

对任意，均有（1）

（2）对任意，函数的值域为

（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意

（4）若，后一个式子表明是周期为1的函数。

（5）若

（6）若

二、综合应用

例1．设是R上的奇函数，求的值。

例2．设都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值为5，求上的最小值。

例3．已知______________

例4．设均为实数，试求当变化时，函数的最小值。

例5．解方程：（1）

（2）

例6．已知定义在R上的函数满足，当，；

（1）求证：为奇函数；

（2）求在上的最值；

（3）当不等式恒成立，求实数的取值范围。

例7．设是定义在Z上的一个实值函数，满足，

求证：是周期为4的周期函数。

例8．给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是

（

）

三、强化训练：

1．已知函数定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有。若，求的值。

2．函数定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式设的一个根是，记中的根的个数是N，求N的最小值。

3．若函数的图像关于直线对称，且关于点对称，求证是周期函数。

4．求数列的最小项，其中

5．设是定义在上的增函数，对任意，满足。

（1）求证：①当

（2）若，解不等式

6．已知，求满足的的值。

参考答案：

例1：周期为4，

例2：记，则为奇函数。在上的最小值为-1.

例3：在上为增函数，

例4：，换元后研究函数的单调性

当时；当时

例5：（1）构造，利用单调性得：

构造递增函数，利用解得：

例6：（2）

（3）

例8：令得

例9：④

强化训练：

401 略

最小项为

时；时

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