习题2.3课时教案

函数

定

义

图

象

性

质

方

程

型如：

yca

xb一元一次函数一元二次函数反比例函数指数函数对数函数三角函数型如：

yxk(k0)

x

对

应

映

射

一一映射

常用函数

方

程

不等式

反函数

函数的三要素

函

数

性

质

图

象

图象变换

图

象定义域值

域解反解析解析式式

定义域值

域单调性奇性周性对偶期称性性性关于y=x对称

最

值

平移变换伸缩变换翻转变换一、映射与函数：

（1）映射的概念：

A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中都有 的元素与它对应；记作： ；

（2）一一映射：A,B是两个集合，f:AB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的 ；在集合B中有 ；而且B中 ；

（3）函数的概念：如果A,B都是 ，那么A到B的映射f:AB就叫做A到B的函数，记作 ； 如：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。

函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为 个。

二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：如：已知f(x11)x22，求：f(x)；

xx②换元法：如：已知f(3x1)4x3，求f(x)；

③待定系数法：如：已知f{f[f(x)]}12x，求一次函数f(x)；

④赋值法：如：已知2f(x)f()x1(x0)，求f(x)；

（2）函数定义域的求法：

①y1xf(x)，则 ； ②y2nf(x)(nN*)则 ；

g(x)③y[f(x)]0，则 ；

④如：ylogf(x)g(x)，则 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数yf(x)的定义域是[0,1]，求(x)f(xa)f(xa)的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则Sf(r) ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)ax2bxc,x(m,n)的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y③判别式法：

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型yaxbxc；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：yxaxb,x(m,n)；

cxdk(k0)，利用平均值不等式公式来求值域；

x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

三、函数的性质：

（1）函数的单调性：对于给定区间上的函数f(x)，如果对于

定义域内任意的x1,x2；若 ，都有 ，则称f(x)为增函数；

都有 ，则称f(x)为减函数；

注意：（1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于x的多项式，还可以通过求导证明：当 时为增函数，当 时为减函数。

（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。

（2）函数的奇偶性：对于函数f(x)，

如果定义域内任意的x1，

都有 ，则称f(x)为奇函数；

都有 ，则称f(x)为偶函数；

奇函数的图象关于 ，偶函数的图象关于 ；

注意：（1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域 ；

（2）若函数yf(x)，xD是奇函数，且0D，则 ；

如：判断y(x1)1x的奇偶性。

1x关于函数的单调性和奇偶性的的结论：

1、若奇函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），则f(x)在区间[b,a]上是单调递 ；

2、若偶函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），则f(x)在区间[b,a]上是单调递 ；

3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 ；这样的函数有 个。

4、任意定义在R上的函数f(x)都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：f(x)g(x)h(x)；其中g(x) 是偶函数，h(x) 是奇函数；

（3）函数对称性的结论：

1、设函数yf(x)的定义域为R，且满足条件：f(ax)f(bx)，则函数yf(x)

的图象关于直线 对称；

如：由f(1x)f(1x)成立，则f(x)关于 对称；

注意：yf(ax)与yf(bx)关于 对称；

2、定义在R上的函数yf(x)对定义域内任意x满足条件f(x)2bf(2ax)，则yf(x)关于点(a,b)成中心对称，

如：f(x)f(x)f(x)20f(20x)，则f(x)关于原点对称；

（4）函数的周期性：对于函数f(x)，如果存在不为零的常数T，对于定义域内的每一个值，都有

f(xT)f(x)则函数yf(x)为周期函数， 叫周期；

关于函数周期性的结论：

①定义在R上的函数yf(x)对定义域内任意x，都满足条件f(x)f(xa)f(xb)成立，则

yf(x)是以T 为周期的周期函数；

②若函数yf(x)既关于直线xa对称，又关于xb(ab)对称，则yf(x)一定是周期函数，且T 是它的一个周期；

③若yf(x)既关于直线xa成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，则yf(x)一定是周期函数，且T 是它的一个周期。

四、图形变换：

（1）平移变换：

①形如：yf(xa)：把函数yf(x)的图象沿 方向向 或 平移 个单位，就得到yf(xa)的图象。

②形如：yf(x)a：把函数yf(x)的图象沿 方向向 或 平移 个单位，就得到yf(x)a的图象。

（2）对称翻转变换：

①形如：yf(x)：其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称。

②形如：yf(x)：其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称。

③形如：yf1(x)：其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称。

④形如：yf(x)：其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称。

⑤形如yf(|x|)：这是偶函数。其图象是关于y轴对称的，所以只要先 ；再 ；就得到了yf(|x|)的图象。

⑥形如：y|f(x)|：将函数yf(x)的图象 ；就得到函数y|f(x)|的图象。

（3）伸缩变换：

①形如：yf(x)(0)：将函数yf(x)的图象横坐标（纵坐标不变）缩小（1）或伸长（01）到原来的②形如：yAf(x)(A0)：

将函数yf(x)的图象纵坐标（横坐标不变）伸长（A1或压缩（0A1）到原来的A倍得到。

1倍得到。

y y=f(x) O (2,0) (0,-1) x

如：yf(x)的图象如图，作出下列函数图象：

（1）yf(x)；（2）yf(x)；（3）yf(|x|)；（4）y|f(x)|；（5）yf(2x)；（6）yf(x1)；（7）yf(x)1；（8）yf(x)；

六、复合函数：

（1）定义：如果y是u的函数，记为yf(u)，u又是x的函数，记为ug(x)，且g(x)

的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数yf[g(x)]，这时y做x的复合函数，其中u叫做中间变量，yf(u)叫做外层函数，ug(x)叫做内层函数。

（2）复合函数单调性： ；

七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数：yaxb(a0)

当a0时，是增函数；当a0时，是减函数；

（2）一元二次函数：

一般式：yax2bxc(a0)；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式：ya(xx1)(xx2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ；

顶点式：ya(xk)h；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性： 当a0时： 为增函数； 为减函数；

当a0时： 为增函数； 为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xk)h的形式，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

a0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

a0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

a0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：yxx1,x[1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。如：yxax1,x[1,1]

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．yxx1,x[a,a1]

22222

③二次方程实数根的分布问题：

设实系数一元二次方程f(x)ax2bxc0的两根为x1,x2；则：

根的情况

x1x2k

在区间(k,)上有两根

x1x2k

在区间(,k)上有两根

x1kx2

在区间(k,)或等价命题

(,k)上有一根

充要条件

根的情况

mx1x2n

在区间(m,n)上有两根

x1mnx2

x1(m,n),x2(m,n)

等价命题

在区间(m,n)上无根

在区间(m,n)上有一根

充要条件

注意：若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令xn和xm检查端点的情况。

（3）反比例函数：y

ac(x0)ya

xxbay(x0)

x

yca(xb)

xb图 形

定义域

值 域

单调性

a0

a0

对称中心

渐近线

（4）指数函数：yax(a0,a1)

指数运算法则： ； ； 。

0a1

a1

图 象

定义域

值 域

函数值

x0

x0

单调性

（5）对数函数：ylogax(a0,a1)

对数运算法则： ； ； ；

（1）loganbm ；

（2）换底公式： ；

（3）对数恒等式： ；

0a1

a1

图 象

定义域

值 域

函数值

0a1

a1

x0

x0

单调性

注意：（1）yax与ylogax的图象关系是 ；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

（3）已知函数f(x)log1(x2kx2)的定义域为R，求k的取值范围。

2已知函数f(x)log1(x2kx2)的值域为R，求k的取值范围。

2（4）下图中，a1,a2,a3,a4与b1,b2,b3,b4间的关系是：

六、yxk(k0) 的图象：

x 定义域： ；

值域： ；

奇偶性： ；

单调性： 是增函数； 是减函数。

七、补充内容：

（1）抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①f(x1x2)f(x1)f(x2)正比例函数f(x)kx(k0)

②f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2) ；

③f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1)f(x1)f(x2) ；

x2④f(x1)f(x2)2f(（2）不等式恒成立的条件：

x1x2xx2)f(1) ；

22(1)已知f(x)axb,a,bR,且a0,m1,m2R；则

(a)f(x)0在x(m1,m2)时恒成立 ；

(b)f(x)0在x(m1,m2)时恒成立 ；可借助一次函数得到。

(2)已知f(x)axbxc,a,b,cR

(a)f(x)0在xR时恒成立 或 ；

(b)f(x)0在xR时恒成立 或 ；（可借助一次函数

(c)f(x)0在xR时恒成立 或 ；或二次函数得到）。

(3)f(x)a恒成立[f(x)]mina；f(x)a恒成立[f(x)]maxa

2

函数练习

一、选择题（每题3分，共54分）

1、下列四组函数中，表示同一函数的是（

）

A．yx1与y(x1)2 B．yx1与yx1x1

C．y4lgx与y2lgx2 D．ylgx2与lg2、函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值遇为（

）

x

100A．1,0,3 B．0,1,2,3 C．y1y3 D．y0y3

3、函数f(x)2(x0)的反函数f1(x)（

）

xx2xA．(x0) B．(x0) C．(x0) D．2x(x0)

2x24、函数f(x)loga(x2)(0a1)的图象必不过（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

35、化简aa的结果是（

）

122A．a B．a C．a D．a

6、若lga,lgb是方程2x4x10的两个实根，则ab的值等于（

）

2131 C．100 D．10

27、函数yf(x)的图象与ylog1(1x)的图象关于直线yx对称，则f(x)=（

）

A．2 B．2A．12x B．12 C．12 D．12xxx

8、若f(x)x1，则方程f(4x)x的根是（

）

x11A． B． C．2 D．2

2229、已知函数f(x)82xx，那么（

）

A．f(x)是减函数 B．f(x)在(,1]上是减函数

C．f(x)是增函数 D．f(x)在(,1]上是增函数

10、如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)在[7,3]上是（

）

A．增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5．

C．减函数且最小值是5 D．减函数且最大值是5

14、某型号的收录机每台302元，买x台这种型号的收录机所需款为f(x)302x（元），则此时x的取值范围是（

）

A．任意实数 B．一切整数 C．一切正数 D．非负整数

15、若lg2a,lg3b,则log23等于（

A．）

baba B． C．a D．b

ab316、已知x8，那么x等于（

）

1

2A．2 B．2 C．2 D．x17、若函数f(x)为奇函数，且当x0时,f(x)10,则f(2)的值是（

）

A．100 B．18、若函数f(x)11 C．100 D．

100100a在(0,)上为增函数，则a的取值范围是（

）

xA．(,0) B．(0,) C．R D．[1,1]

二、填空题（每题3分，共15分）

19、化简(12x) (x21)的结果是 220、奇函数f(x)定义域是(t,2t3)，则t

x (x0)21、若f(x)，则f(3) 12x (x0)22、函数y2x在[0,1]上的最大值与最小值之和为 23、y(log1a)x在R上为减函数，则a 2三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分）

答案

一、D A B A B C D A D B D D A D A D A A 5 3 (,1)

二、2x1 1 三、24．证明：任取两实数x1,x2.则y1y2(ax13)(ax23)a(x1x2)

12x1x2 x1x20,又a0 a(x1x2)0y1y20y1y2

所以yax3(a0)在(,)上为减函数。

25、原式(lg2)2lg2lg(252)lg52(lg2)2lg2(lg22lg5)2lg5

2(lg2)22lg2lg52lg52lg（2lg2lg5)2lg52lg22lg52lg10226、f(x)为奇函数 f(x)f(x) g(x)为偶函数 g(x)g(x)

f(x)g(x)x2x f(x)g(x)x2x

从而

f(x)g(x)x2x,f(x)g(x)x2x

f(x)g(x)x2xf(x)xf(x)g(x)x2xg(x)x2

27、设每个小矩形长为x，宽为y，则

4x3y200,S3xyx(2004x)4x2200x4(x25)22500

x25时,Smax2500(m2)