3.4.1 函数与方程多媒体教学设计及其点评

《函数的零点》

【教学目标】

1、学生能够结合具体二次方程，说出方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点横坐标三者的关系；

2、学生能利用函数图象和性质判断二次函数的零点个数，并会求二次函数的零点；

3、通过对具体例题的讨论，学生能总结出函数零点存在性定理，能说出图象连续不断的意义及作用；能举例说明定理的逆命题不成立；

4、学生能运用零点存在性定理证明函数在某区间上存在零点；

5、学生初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．

【课堂实录】

一、创设情境，引入新课

（用PPT出示下述问题）

1.你会解方程x22x30吗？方法是什么？

学生众：会。可以用因式分解，配方，求根公式……

2.你会解方程lgx3x吗？你能确定上述方程的解的个数吗？

学生众：（第一个问号）不会。

学生1：可以作函数ylgx和y3x的图象，两个函数交点的横坐标就是方程lgx3x的根，由图可知，两个函数有且只有一个交点，所以方程的解有一个。

教师：这位同学说的非常完美。我们在现实问题的解决中经常会遇到无法用公式法等求解的方程，这位同学将方程的问题转化为函数来解决，这正是本章要研究的一个重要思想与方法——函数与方程。为了理清两者的关系，我们从简单的一元二次方程和一元二次函数的关系出发进行研究。

二、问题引动，明晰概念

问题1：方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3有怎样的联系呢？

学生2：方程x2-2x-3=0的根就是函数y= x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标，也就是函数y= x2-2x-3中令y=0时的x的解。

教师：很好。我们把函数y= x2-2x-3中使y=0时的x的解称为函数y= x2-2x-3的零点。“零点”是一个新的概念，但它的本质我们并不陌生。（在黑板上板书一元二次函数零点的定义，及零点、交点横坐标、方程的根三者之间的等价关系）

例1

求证：二次函数y=x2-2x-1有两个不同的零点。

学生3：（略）

问题2：你能将这个特殊的二次函数推广到一般的二次函数来研究它的零点吗？

学生4：用对应方程的Δ的正负判断零点的个数。Δ>0，函数有两个零点；Δ=0，函数有一个零点；Δ<0，函数无零点。

学生一起归纳：二次函数零点的判定（填写

右表）

问题3：你能将零点的概念推广到一般函数吗？

学生归纳定义：一般地，我们把使函数y＝

f(x) 的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点。

教师：数形结合是一对不可分割的孪生兄弟，我们在解决数学问题时，经常“以形助数，以数解形”，可见“函数零点方程根，数形本是同根生”。

练习1：函数y=f(x)的图象如图一所示，说出函数f(x)的零点。

学生5：函数的零点是-4，-1，2.。

教师：有不同意见吗？

学生6：我认为是（-4,0），（-1,0），（2,0）。

教师：这两个答案差异可大了，一个是数，一个是点，那么零点到底应该是数还是点呢？为什么？

学生7：应该是数，因为函数的零点也就是函数与x轴的交点的横坐标，横坐标是数。

教师：解释地非常到位，可见“零点”非“点”。

练习2：三次函数g(x)ax3bx2cxd（a≠0）至多三个零点，若已知部分对应值如下表，试判断零点个数，并确定大致区间。

x -2 -1 0 1 2 3

g(x) -12.9 -1.8 0.32 -0.54 1.6 12.7

学生8：画出函数的示意图，由图可知零点有三个，在区间（-1,0），（0,1），（1,2）上。

教师：你能上黑板来画一下示意图吗？

（学生8很高兴地上台展示，画图如图二所示）

教师：同学们，你们都是这样画的吗？（学生点头不语）我想将他的图象修改一下，将函数在区间（-1,0）上断开，那么函数在这个区间上就没有零点了，这样行吗，为什么？

学生众：不行，这个函数在R上是连续的。

教师：很好，可见，这个函数在（-1,0）上要穿过x轴那就必须要是连续不间断的。

三、探究归纳，学以致用

例2 判断函数y=x2-2x-1在区间（2,3）上是否存在零点。

学生9：（法一）考察方程x2-2x-1=0的根，……

教师：这位同学将函数零点转化为方程的根来研究，非常好。但是我们知道还有一些方程是无法求根的，那么我们就要探寻其他方法来解决。还有不同方法吗？

学生10：直接考察函数在区间上的两个端点值，因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，且函数在（2,3）上单调递增，所以……

学生11：不对，还要加条件“函数y=x2-2x-1在区间（2,3）上连续不间断”。

教师：把两位同学的解答合起来就非常漂亮了（称为法二）。我们还可以把条件再加强一些，“函数y=x2-2x-1在闭区间

[2 , 3]上连续不间断”。

教师：你能将上述法二总结为一般规律吗，即函数满足什么条件，就可以得到函数y=f(x)在区间（a,b）上有零点？

学生12：一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调，图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点。

教师：好的，我们来细细品味一下这个命题中的条件是否精确，有没有多余的？

学生13：“函数在[a，b]上单调”不一定成立，反例见黑板上那个三次函数（图二），取区间（-2,3）来研究即可。

教师：反应真快，连反例都找好了。那么我把“函数f(x)在区间[a,b]上连续不间断”改为“函数f(x)在区间(a,b)上连续不间断”行吗？

学生陷入沉思。

过了一会儿，坐在第一排的一位男同学（学生14）举手发言：“不能改为开区间，我可以举反例……”他大踏步上黑板画了一个分段函数（见图三）。

坐在下面的学生一个个睁大了眼睛，无不为这位同学的创造之举而惊讶。

教师：“太棒了！你给大家解释一下你的杰作吧。”

……

意义建构：（零点存在性的一种判定方法）一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点。

例3 求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1）上存在零点. （学生15板演过程）

教师：这位同学用零点存在性的判定方法来进行证明，板书很规范。那么这个题能用解方程的方法来解吗？

学生众：不行。（进一步感受用数形结合、函数思想解决问题的有效性、优越性）

四、变式训练，拓展延伸

问题4：若将“零点存在性判定方法”中的结论改为：“函数y=f(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点”，这个命题还正确吗？

学生16：不正确，应该是“至少有一个零点”，如黑板上三次函数（图二）的图象，它在（-2,3）上就有三个零点。

教师：很好，请坐。如果要使得“有且只有一个零点”是正确的结论，可以将条件作怎样的修改呢？

学生众：只要让函数在区间[a,b]上是单调函数就行了。

问题5：你能再改变命题的条件或结论，得到一些新的命题吗？并判断你所得到的命题是正确的还是错误的。

学生17：定理中的条件“f(a)·f(b)<0”改为“f(a)·f(b)>0”，结论是“函数在（a,b）上不一定有零点”。反例如二次函数图象……

学生18：可以将条件和结论互换一下，如：“若函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象是一条不间断的曲线，且在区间(a，b)上有零点，则f(a)·f(b)<0)。”但这个命题是错误的，反例还是可以举二次函数……

教师：非常好，我们在学习数学的过程中，可以通过变换命题的条件或结论来加深对知识的理解，提升能力，拓展思维。

五、探索理解，转化化归

问题6：函数f(x)=lgx-3+x的零点有几个？它的大致区间是什么？你能用今天所学的方法证明吗？

学生沉思片刻，猛然醒悟，就是引入中的问题，那么下面的问题学生就流利顺畅地解决

了。

六、归纳小结，自我评价

1．通过本节课的学习，我学到了哪些知识？会解决哪些问题？

学生众：（略）。

2．在解决问题的过程中我用了哪些方法？

学生19：数形结合思想，在否定命题时用举反例的方法，从特殊到一般再到特殊的方法……（课堂在愉快的铃声中结束）

【评课反馈】

（一）本节课的亮点

（1）问题引动，由浅入深，坡度明显

整堂课以问题为入口，引发学生的思考和探索。创设情境阶段，通过问题“你会解方程lgx=3-x吗”引起学生的认知冲突，让学生感觉到学习新知的必要性，激发学生的探究热情。知识的发生发展阶段，六个问题的设置，梯度明显，层层深入，为学生思维的活跃和拓展提供了阶梯式的帮助，让学生“跳一跳，摘到桃”。

（2）充分体现数学命题教学的逻辑性和严谨性

执教者语言表达清晰、严谨，在定理建构的过程中引导学生对“区间开闭”、“函数单调”、“不间断”等条件进行了正面和反面的辨析，并通过改变命题的条件和结论等方式启发学生改编命题，不仅使学生加深了对命题本身的理解，同时也促进了学生推理、变式、探究的思维能力，有效突破思维定势，使学生的思维更具有灵活性、严谨性、变通性和创造性。

（3）以数学思想引领教学，以提升能力为终极目标

专家指出：没有思想引领的课堂是没有灵魂的课堂。

问题1~3和后续练习充分体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，学生在思考问题和解决问题的同时感受和体验了获得新知的一种探索渠道：“从多个特殊例子进行归纳，得到一般的结论——对结论进行证明或验证——再将所得的结论应用于新的情境，解决新的问题”。

在理解函数零点、交点横坐标、方程的根三者之间的等价关系时，执教者对“形”和“数”之间的关系进行了形象而精辟的归纳。学生的口答和板演的结果反映了学生对数形结合思想的充分利用和自觉运用。

（4）凸显学生的主体地位，切实践行新课程理念

课堂在教师的组织和引导下有序进行，以六个问题为主线，学生通过独立思考，交流讨论，相互补充，从而获得结论。所有问题的解决过程，所有结论的归纳、抽象和应用过程都交给了学生，课堂气氛活跃，节奏紧凑有序，学生的主体地位得以充分体现。课堂上给予学生充足的时间进行自主探索、动手实践、合作交流，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。整节课表面上看似平静，实质上学生的思维活动随着问题的抛出犹如“一石激起千层浪，一浪更比一浪高”，在学生改编命题的活动中达到了高潮。

（5）首尾呼应，设计巧妙

课堂尾声处抛出问题“函数y=lgx+x-3有零点吗”，与课堂开始时的问题情境：“你能确定方程lgx=3-x的解的个数吗”遥相呼应，设计巧妙，让学生充分体会了用函数研究方程根的问题的有效性，及函数与方程之间转化化归的思想，于本节课中实属画龙点睛之笔。

（二）对本节课的建议

问题：把“函数f(x)在区间[a,b]上连续不间断”改为“函数f(x)在区间(a,b)上连续不间断”行吗？

问题：你能再改变命题的条件或结论，得到一些新的命题吗？并判断你所得到的命题是正确的还是错误的。

课堂中上述两个问题思维难度比较高，可以将独立思考改为分组讨论，4-5个同学为一小组，汇报成果，总结归纳。但所花时间肯定要多一些，所以要更精简一下前面的过程。如：可以将创设情境1去掉，将特殊的一元二次函数推广到一般的一元二次函数时表格省略，在下面例题讲评中点到即可。

【课后反思】

1.教学形式要多样化。

如果时间允许的话，学生探究活动中可以多一些小组讨论的形式，用同伴的思维激发自己的思维，使大多数同学都能得到不同程度的提高。

2.评价方式要多元化。

基于教学目标，课堂评价的内容和方式要灵活多样，将交流式评价、表现性评价和结果性评价相结合，将师生互评、生生互评和学生自评相结合。对于学生的突出表现，应给予足够的肯定，甚至是夸张的表扬，如本节课中学生画出了图三的反例，可以说是“很了不起的创造”。

3.立足新旧知识的联系，建构知识网络。

数学学习中，有些知识（如零点）是新的概念，但不是新的内容。在教学中我们可以把学生前面所学的相关知识在本节课上串起来，便于学生在学习中把一个个孤立的知识点纳入到自己原有的认知体系中，形成一个有序的、成结构的系统化的知识网络。

作为一个数学教师，尤其是有思想有抱负的青年教师，在教学实践中应做个有心人，将不同的课型课例进行归类，及时记录对教学过程的反思，有助于自身专业水平的大大提高。