2.2.2 函数的奇偶性板书设计及意图

2.2

函数的奇偶性（1）

教学目标：

1．进一步认识函数的性质，从形与数两个方面引导学生理解掌握函数奇偶性的概念，能准确地判断所给函数的奇偶性；

3．引导学生从生活中的对称联想到数学中的对称，师生共同探讨、研究，从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理，培养学生严谨、认真、科学的探究精神．

教学重点：

函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断．

教学难点：

函数奇偶性的概念的理解与证明．

教学过程：

一、问题情境

2【问题1】画出观察函数f(x)x和h(x)1（x≠0）的图象，从对称的角度你发现x了什么？

【问题2】怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性？

【问题3】已知函数f(x)x2，分别求f(2),f(2),f(1),f(1),f(3),f(3),

f(x),f(x)的值，从中可以得到怎样的结论？

答：函数f(x)x2的图象关于y轴对称，则f(x)f(x).

【问题4】已知函数h(x)1(x0)，分别求h(2),h(2),h(1),h(1),h(3),h(3),

x的值，从中可以得到怎样的结论？

答：，函数h(x)1(x0)的图象关于原点对称，则h(x)h(x).

x二．建构数学．

1，奇、偶函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A．

如果对于任意xA，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；

如果对于任意xA，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数；

2．函数的奇偶性：

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数)，则说该函数不具有奇偶性．

3．奇、偶函数的性质：

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．

【问题5】奇函数，偶函数对函数的定义域有无要求？

答：定义中要求xA,xA，所以一个函数是奇（偶）函数的前提条件是定义域关于原点对称.如函数yx是偶函数，但yx,x[2,3]既不是偶函数，又不是奇函数. 所以我们把函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．处理函数的奇偶性问题要注意“定义域优先”. 22

4．定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的前提条件．

四、数学运用

例1：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：

（1）f(x)x21；(2)f(x)2x；(3)f(x)2x；(4)f(x)(x1)2. 解：(1)函数f(x)=x-1的定义域是R，且f(x)(x)21x21f(x)，

2所以f(x)=x-1为偶函数. (2)函数f(x)=2x的定义域为R，f(x)2(x)2xf(x)，

所以f(x)=2x为奇函数. (3)函数

f(x)=2|x|的定义域为R，且f(x)2x2xf(x), 所以f(x)=2|x|为偶函数. (4)函数

f(x)=(x-1)的定义域为R，因为f(1)0,f(1)4, 所以f(1)f(1),f(1)f(1). 因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数f(x)(x1)2既不是奇函数也不是偶函数. 点拨：本例也可借助函数图象帮助判断函数的奇偶性,涉及函数既不是奇函数也不是偶函数的判断通常利用特殊值说理.从图象上看，只要图象上某点关于原点（y轴）的对称点不在函数图象上，那么这个函数就不是奇（偶）函数. 5．判断函数奇偶性的步骤：

①确定函数的定义域，并检查函数的定义域是否关于原点对称；

②判断f(－x) = f(x) 或若f(x)f(x)是否成立 例2：判断函数f(x)x5x是否具有奇偶性．

解：函数f(x)的定义域为R. 因为对于任意的xR，都有f(x)(x)5(x)(x5x)f(x)，

所以函数y=f(x)为奇函数.

333221x2变式：判断下列函数是否具有奇偶性．①f(x)；②f(x)x1x1

x22③f(x)（二）随堂练习

1．函数f(x)x211x2；④f(x)(x1)1x

1xx25下列说法正确的有

．

①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；

③既是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数

2．判断下列函数的奇偶性：

（1）

f(x)＝x＋1；

x（2）

f(x)＝x2＋x；

x41（3）f(x)＝；

2x（4）

f(x)＝|x|．

xy 3．已知奇函数f(x)在y轴右边的图象如图所示，试画出函数

f(x)在y轴左边的图象．

4．对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确：

（1）若f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数；

（2）若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；

（3）若f(－2)＝f(2)，则f(x)不是奇函数．

（4）若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，

五、回顾反思

f(x)f(x)偶函数

定义

O x 图象关于y轴对称f(x)f(x)函数的奇偶性

奇函数

图象

定义

图象关于原点对称定义域关于图象

定义法

图象法

判定

原点对称

思考：已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)x2x3，求f(x)的解析式，画出图像

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