4.4 对数概念及其运算名师教学设计

课题4.4

对数的概念及运算（1）——对数的概念

【教学内容分析】

为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新的知识——对数。本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。

【教学目标】

1．知识与技能：理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系；

2．过程与方法：经历由指数式提出对数概念的过程，知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值；

3. 情感、态度、价值观：养成类比、转化的思维习惯；

【教学重点】

对数式与指数式的互化

【教学难点】

对数的概念

【教学流程设计】

实例引入

底数

真数

常用对数

自然对数

对数的基本概念

运用与深化(例题解析、巩固练习) 课堂小结并布置作业

【教学内容和步骤】

一、

情景引入（学生活动）

1

假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？

解：设经过x年国民生产总值为2002年时的2倍，

根据题意有a(18%)x2a，即1.082. 问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？

二、学习新课

1．概念辨析：一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b叫bx做以a为底N的对数，记作logaNb,其中a叫做底数，N叫做真数。

[说明]结合指数的性质特点，以及指对数之间的互化关系发现： abN  logaNb （a0,a1,N0,bR）

（1）对数的底数必须大于0且不等于1；

（2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数；

（3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零；

（4）loga10,logaa1

，通常以10为底的对数，叫做常用对数。为了简便，N的常用对数log10N，简记作lgN；

（5）将以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数。为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN

2．例题分析

例1、将下列指数式化为对数式（学生活动）

4①

5625；

②

2511ma；

③381；

④()5.73

323例2、将下列对数式化为指数式：（学生活动）

①

log1164；

②

log2217；

③

log100.012；

④

ln102.303；

1281；

③

loga1

（a0,a1）；

2例3、求下列各式的值：（学生活动）

①

log749；

②

log8

④

log1243；

⑤

logaa

（a0,a1）；

273．问题拓展

问题1、（学生活动）

（1）用计算器计算下列各数的值（结果精确到0.01）

lg5.24

lg348

lg0.02

lg82

lg2.83

lg0.3 （2）猜想真数为何值时，对数为正或者为负；

（3）用指数函数的性质解释你的结论. [说明]

2

1．通过本例养成观察、思考的习惯；锻炼归纳问题的能力。

2．你能否模仿此例研究自然对数，从而得到你的结论？

问题2、证明：a生活动）①

10⑤

alogaNN（a0,a1,N0）,并利用结论求出下列各式的值：（学1log34log102； ②

3； ③

23log251； ④

272log323；

logablogbN（a0,a1,b0,b1,N0）

三、巩固练习（学生活动）

1．把下列指数式写成对数式

（1）23；

x（2）4x13；

（3）6423x；

（4）1；

02．把下列对数式写成指数式：

（1）log242；

（4）lnex； 3

（2）lg0.0013； （3）log1e1

e

（5）logax1（a0,a1）；

3

3．利用计算器求值探索规律，并用指数函数性质解释你的结论：

（1）lg1.2；

四、课堂小结

1.对数的基本概念、自然对数、常用对数；

2．指数式与对数式的互相转化。

五、作业、训练设计

练习册4.4（A）组：1、2、3 六、教学反思

1．本节课是对数问题的第一课时。考虑到学生在学习对数概念时可能遇到的“理解难、认知难、记忆难”等问题，因此在教学过程中选择从解指数方程，也即“已知底数和幂的值求指数”这一角度入手，与学生共同经历从指数式转化成对数式的过程，期望通过实践加深学生对于对数产生的认识，使学生体会到学习对数的实际意义。

2．在处理指、对数式之间的转化时，从一个具体的指数方程1.082log1.082x出发推广到一般的形式aNlogaNb，结合指数函数的性质，由学生自己归纳出对数式logaNb中各字母的含义与其取值范围的要求。籍此过程中，将定义中的难点加以分散从而为下面让学生熟练应用指对数式之间的转化打下坚实的基础，并锻炼了学生的概括能力。整个过程，让学生经历了由特殊——一般——特殊的思维过程。

3 bx（2）lg23.8；

（3）lg0.54；

（4）lg10；

（5）lg108

4.4（2）对数的运算

【教学内容分析】

对数这一内容本身就是学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要.一方面，对数的运算要为后面学习对数函数以及对数的方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别.所以为了加深学生对运算性质的记忆和理解，主要采用让学生自己发现性质的方法，并进一步判断辨别容易出错的问题.这一部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫.当然在这个内容中运算法则的熟练运用尤为重要，因而需要学生进行较多的练习强化，理解记忆也是必要的，这是这部分内容的重点. 【教学目标】

1．知识与技能：掌握对数的运算性质及其证明；

2．过程与方法：学会利用对数的运算性质求对数式的值；

3. 情感、态度、价值观：体会数学知识在自然现象中的应用. 【教学重点】

掌握对数的运算法则及用对数的运算法则进行简单的计算，并能解决简单的实际问题. 【教学难点】

对数运算性质的证明及应用

【教学流程设计】

计算求值引入

积的性质

及其证明

对数的运算性质

商的性质

及其证明

幂的性质

及其证明

运用与深化(例题解析、巩固练习)

【教学内容和步骤】

一、

情景引入（学生活动）

1．观察

完成下表，观察结果：

4 课堂小结并布置作业

M

N

1449

3.2

10.89

6.8

log10(MN)

log10

M

Nlog10Mlog10N

log10Mlog10N

2001

2008

2.36

0.07

2．思考

猜测：loga(MN)loga

3．讨论

等式中各字母的范围：a0且a1；M0；N0；

是否对所有的数都成立？

二、学习新课

1．运算性质

1）loga(MN)loga2）logaMlogaN； logaMlogaMlogaN；

NMlogaN（a0且a1；M0；N0）

MlogaMlogaN（a0且a1；M0；N0）

N在猜测的基础上，能否再给出一些特例？

提示：当MN时，得到：logaM 推广：loga2logaMlogaM2logaM

MklogaMlogaNklogaM kN；

再设问：推广中，k的范围能否再拓展一些？

3）logaMnnlogaM（a0且a1；M0）

证明：对数由指数而来，回归思想；

2．例题分析

例1：判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例.（a0且a1；M0；N0）（学生活动）

①

loga(MN)logaMlogaN；

②

loga(MN)logaMlogaN；

③

loga(MN)logaM；

logaN5

④

logaMk(logaM)k；

例2：计算：（学生活动）

①

lg0.01； ②

log2(2434)； ③

lg2lg5； ④

log3⑤

log22726log3log3； 53571log212log2421；

482⑥

(lg2)2lg2lg50lg25

例3：已知loga18m，loga24n，（a0且a1），求loga1.5？

3．问题拓展（学生活动）

科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r可定义为r（精确到个位）

[说明]让学生初步了解对数的运算在实际问题中的简单应用，并能知道地震级数的差异是地震能量指数之间的差异，不是地震能量本身的差异. 三、巩固练习

计算：（学生活动）

（1）lg1421g（3）2lgI2，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量的比值.37lg243lg7lg18； （2）； 3lg9lg27lg83lg10．

lg1.2

6

四、课堂小结

运算性质

1）loga(MN)loga2）M0logaMlogaN（a0且a1；M0；N0）

MlogaMlogaN（a0且a1；；N0）

N3）logaMnnlogaM（a0且a1；M0）

五、作业布置

书后练习1、2、3、4做在书上，5做在练习本上. 练习册第1页第4、5题做在练习本上. 【教学反思】

1、本节课设计用具体的计算引入，形象直观，便于学生自己发现对数的运算性质，培养了学生自己观察归纳的能力. 2、本节课设计从指数与对数的关系及指数的运算法则入手，让学生从联系的观点出发，探究对数的运算法则，注重了知识的整体建构. 3、在巩固对数的运算法则时，设计了一些实际问题，纠正学生初学时容易产生的一些错误，（而产生这些错误的主要原因就是将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆了）加深了学生的认识. 4、本设计给学生创设了大量的尝试、思考、交流、讨论、表述的机会，有利于学生创造思维的培养；注重了类比、归纳思想的渗透. 5、结合实际的地震能量的问题，让学生了解对数的运算性质在实际问题中的简单应用，并借此对学生进行生命安全教育.

7

4.4（3）

对数的概念及运算——换底公式

【教学内容分析】

为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式.本节课是对数的第三课时，考虑到学生已经具备了对数的概念以及在底数相同情况下的对数式运算，因此要在将对数不同底数转化为相同底数的运算上重点讲解，和学生共同经历由不同底数转化到相同底数的过程. 【教学目标】

1．知识与技能：掌握换底公式及其应用；

2．过程与方法：经历对数换底公式的推导过程，掌握用换底公式进行化简和验证的方法；形成归纳、猜想的能力. 3. 情感、态度、价值观：通过数学公式推理，激发探究数学欲望，增强学习数学兴趣。

【教学重点及难点】

重点：换底公式及其应用；

难点：应用换底公式求对数值和证明对数恒等式.

【教学流程设计】

实例引入

非常用对数

换底公式

常用对数

运用与深化(例题解析、巩固练习) 课堂小结并布置作业

【教学过程设计】

一、

情景引入（学生活动）

1．利用计算器，计算lg5、lg24、log1.064；

问题：已知常用对数，当底数不为10时，该如何求解？

2．已知log23a，log37b，试用a、b表示log4256；

问题：对数运算注重同底，现在底数不统一，如何解决？解决问题的关键是什么？

8

二、学习新课

引入：如何求解1.062中的x ? 分析：1.062

xlog1.062；

xx1.06x2



log101.06xlog102  xlog101.06log102 xlog102；

log101.06log1.062猜测：logbN证明：

log102

log101.06logaN （a0且a1，b0且b1，N0）（学生活动）

logab特例：Na时，logbalogaa1；

logablogabb

logalogab；

2．例题分析

例1：计算下列各式的值：（学生活动）

①

log43log932； ②

(log63)③

例2：已知log23a，log37b，试用a、b表示log4256.（

例3：已知log1227k，试用k表示log616.（4(3．问题拓展

例4：已知正数x、y、z满足：346，

①

求证：xyz2log618；

log2611lg2lg5； ④

；

log23log13.53log5010log510ab3）（学生活动）

1aab3k（学生活动）

)）3k111；

zx2y9

②

比较：3x、4y、6z的大小.

三、巩固练习（学生活动）

1．求值：log32log92log43log83=_________. 2．已知log8alog4b25，且log8blog4a27，那么log43*．已知xab=______. 11log13211log135，则x的值属于区间-------------(

)

(A) (2,1)；

(B) (1,2)；

(C) (3,2)；

(D) (2,3)；

4．若log189a，185，则log3645________

（用a、b表示）. 5．若a、b是方程2lgxlgx10的两个实根，求lg(ab)logablogba

24b的值.

四、课堂小结

1．对数的换底公式；

2．不同底数的对数式之间的互相转化. 五、作业布置

练习4.4（3）

【教学反思】

1．本节课是对数问题的第三课时.考虑到学生已经具备了对数概念以及同底前提下对数的运算，因此本堂课的关键在于将不同底的对数化为同底.选择从特值入手，借助指对互化，与学生共同经历换底公式的推导，并在特值情况下进行一定的猜测、推广，期望通过实践加深学生对于换底公式的认识和记忆，同时培养学生的归纳、猜测、探索能力. 2．在处理同底的转化时，以谁为底是一个可供选择的注意点，原则上，只要有利于对数的化简、计算，同时又能满足对数对于底数的要求即可. 3．在教学中要适当控制教学难度，选择的问题要适度.

10

反

函

数

【教材分析】

函数是中学数学中最重要的基本概念之一，高中对函数内容的学习是初中函数知识的深化和延伸。反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。

【教学目标】

1．知识与技能：能正确认识反函数的本质，能判断简单函数是否存在反函数；

2．过程与方法：体验数学知识的发生和发展的过程。掌握反函数的求法；会求一些简单函数的反函数；在概念形成过程中，体会数形结合思想，感受从具体到抽象，抽象到具体的学习方法，培养观察、分析和抽象概括的能力；

3. 情感、态度、价值观：在师生平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情；体验数学中相互联系与相互转化的规律；在建立反函数定义的过程中培养学生思维的严谨性；体验数学研究的乐趣。

【教学重点】

反函数的概念的形成及反函数的求法. 【教学难点】

（1）

反函数的概念；

（2）

原函数与反函数之间的内在联系。

【教学过程】

(一)复习回顾

（1）函数的定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y,并且对于x在某个实数范围D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,记为yfx,xD. x就叫做自变量，x的取值范围D称为函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函

11

数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的三要素：定义域、对应法则、值域。其中定义域和对应法则是最基本的要素。

（3）已知函数yx1，则其定义域为___________，对应法则为______，值域为______。

x（4）已知要建造一个正方形水池，其边长为x米（不超过6米）：将周长y表示成边长x的函数为_______。其定义域为______，对应法则为__，值域为_____？将边长x表示成周长y的函数为________。其定义域为______，对应法则为__

，值域为_____？（学生活动）

(二)新授

1．分析复习中的过程4中的两个函数的关系，指出：我们说函数x函数y = 4x（0x6）的反函数。

y（0y24）是42．定义：一般地，对于函数yfx，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yfx，这样得到的x关于y的函数，叫做yfx的反函数，记作：xf1y,yA. 1习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以改写为yf2．概念辨析

问题1：函数与其反函数的三要素有着怎样的关系？

定义域

值域

x,xA

yf(x)xf1(y)yf1(x)yf(x)

D A yf1(x)

A D 问题2：是否所有的函数都存在反函数？一个函数满足了什么条件，它存在反函数？

x与y一一对应

12

问题3：下列函数是否存在反函数，为什么？（学生活动）

（1）yx2

（2）你能否通过增加条件，使fx反函数存在？

2．习题选讲：

例1．求下列函数的反函数（学生活动）

（1）y3x1(xR)

（2）yx31(xR)

（3）yx1(x0)

2（4）yx3x,2x4

归纳：求解反函数的步骤：

1、由原函数的值域得到反函数的定义域A，

2、从yf(x)中，解得唯一的xf3、互换x与y，得yf例2．已知fx【课堂小结】

1．反函数的概念；

2．反函数的求法. 小结：求反函数的步骤：

1、由原函数的值域得到反函数的定义域A，

2、从yf(x)中，解得唯一的xf3、互换x与y，得yf1111(y)；

(x)；写出反函数的定义域

2x1，则f15的值.

（学生活动）

x1(y)；

(x)；写出反函数的定义域

（四）课后作业：练习册4.5A组

【教学反思】

高中数学新课程理念之一是积极倡导主动、勇于探索的学习方式，课堂教学的中心是学生的学习活动，数学教学的根本任务是让学生“数学地”思考．高中数学课程应力求通过不同形式的教学手段，让学体验合作学习的快乐，在学习过程中培养他们的创新意识，本课设计的基本理念是充分考虑学生的学习基础和思维发展方向，力求教学过程的自然流畅．在教学方法上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、合作等多种方式，力求灵活运用．在启发式教学的学习环境下，让学生通过自主学习反函数的概念，调动每一位学生都能积极主动地参与到数学学习的活动之中。

13

4．6 对数函数的图像与性质

【教学内容分析】

“对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、对数概念及其运算、反函数的概念等知识之后的一节重要内容，

是基本初等函数研究的继续，是数形结合的典型课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实际问题的重要工具，更是高考的热点之一．在本节课的学习中，涉及到数形结合、类比归纳、分类讨论等数学思想，对培养学生的辨证思维能力，培养学生的创新意识有很大的帮助．

【教学目标】

1．知识与技能：掌握对数函数的概念，图像与性质．学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域．

2．过程与方法：学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小．学会观察、分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高创新意识和创造能力．

3. 情感、态度、价值观：通过指数函数与对数函数图像与性质的联系与区别，树立事物是相互联系、相互转化，是对立统一的辩证唯物主义思想．

【教学重点及难点】

掌握对数函数的图像与性质；熟练运用对数函数的性质求对数函数的定义域、值域，会比较两个对数值(式)的大小．

【教学流程设计】

指数函数底数的大小比较、ya与

x指数函数

的图像

与性质

对数函数的

图像与性质

互为反函数

的两个函数

的图像与性

质的关系

对数函数底数的大小比较、ylogax与ylog1x图像、

a1y图像的

a对称性

xylogax与yloga的对称性

1图像

x

14

【教学过程设计】

一、情景引入

1．观察（学生活动）

我们取一张簿纸,对半折,就会有2层,再对半折,会有4层；……

一张这样的纸经过x次对折后,得到的纸层数 y是次数x的函数.这个函数可以用指数函数

y＝2(xN*)表示．x

应用举例(求对数函数的定义域、值域、比较

对数值或式的大小及对数函数图像的作法)

2．思考（学生活动）

反之，如果要求一张纸折叠多少次,大约可以得到128层、1024层……折纸次数 x是纸张层数 y的函数．

3．讨论（学生活动）

根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是 x=log2y.如果用 x表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y＝log2x.由反函数的概念可知 y＝log2x ，即对数函数是同底数的指数函数的反函数．

二、学习新课

1．概念、图像、性质辨析

(1)对数函数的概念

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，函数ylogax

(a0且a1)与指数函数y指数函数的图像与性质如下表：

图

像

ax(a0且a1)互为反函数．

(2)复习指数函数的图像与性质

a1

yy=ax(a>1)0a1

yy=ax(0

10y=1x

15

性

质

(1)定义域为R，值域为(0,)

(2)图像过定点(0 ，1) (3)当x当0时，y1

(3) 当当xx0时，0y1

x0时，0y1

0时，y1

)上是增函数

(4)在(，

(3)比较指数函数的底数大小

)上是减函数

(4)在(，要比较指数函数的底数大小，可作直线x的交点的纵坐标的值即为a．如图所示：由

1，则直线x1与指数函数yax图像yAyByCyD可得出：ab1cd．

yy=ax(a>1)y=bx(b>1)Ay=cx(0

log2x和函数ylog1x的图像.

（学生活动）

2[说明] 互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称

解：先作出函数y2x的图像，再作其关于直线yx对称的曲线，即为函数ylog2x的图像．

1x同理：先作出函数y()的图像，再作其关于直线yx2对称的曲线，即为函数ylog1x的图像．

2

16

yy=2xy=x1y=()2xyy=xy=log2x0x0xy=log1x2

提问：观察下图，你能得出哪些对称关系？

1xy=()ayy=axy=xy=logax0xy=log1xa

[说明]由上图可以推出：

1xy1．函数ya与a2．函数x的图像关于y轴对称；

ylogax与ylog1x的图像关于x轴对称；

a3．函数ylogax与yloga1的图像关于x轴对称．

x(5)参照上面“指数函数的图像与性质”表格，类比归纳推出：

对数函数的图像与性质如下表：

图

a1

0a1

17

像

yx=1y=logax(a>1)yx=10101x

xy=logax(0

性

质

)，值域为R (1)定义域为(0，(2)图像过定点(1 ，0) (3)当x当01时，y0

(3) 当x当01时，y0

x1时，y0

x1时，y0

)上是增函数

(4)在(0，[说明] 性质3也可概括为口诀：

)上是减函数

(4)在(0，“大大得大”——底数a>1,真数x>1,得对数y>0；

“大小得小”——底数a>1,真数0

“小大得小”——底数01,得对数y<0；

“小小得大”——底数00．

(6)比较对数函数的底数大小

要比较对数函数的底数大小，可作直线y1，则直线y1与对数函数ylogax图像的交点的横坐标的值即为a．如图所示：由

xBxAxDxC可得出：ba1dc0．

yy=logaxy=1DACBy=logcxxy=logdx

18

y=logbx0

2．例题分析（学生活动）

例1：求下列函数的定义域：课本第18页例1

例2：求函数ylog2(6xx2)的定义域与值域．5分析：由6xx20，解得3x2，得：函数ylog2(6xx2)的定义域是(3，2)．5125252当x(3，2)时，06xx2(x)2，且以为底的对数

244525函数是单调递减的，ylog2(6xx2)log22，455得：函数ylog2(6xx2)的值域是[2，)．5[说明] (一)求函数的定义域的方法有:

1.分母不为零；

2.偶次方根的被开方数非负；

3.对数的真数大于零；

4.指数函数、对数函数的底数大于零且不等于1；

5.零指数幂底数不为0；

6利用反函数的值域求原函数的定义域；

7．实际问题要有意义．

(二)求函数ylogaf(x)的值域的一般步骤是: 1．先求出这个函数的定义域，即自变量x的取值范围；

2．再求函数f(x)的取值范围；

ylogaf(x)的取值范围，即函数的值域．

3．最后根据对数函数的单调性求得函数4．根据反函数的定义域求原函数的值域．

例3：下面给出四个函数与代号为A、B、C、D的四个图像，将图像的代号填入括号内：

19

(1)函数ylgx的图像是((2)函数ylog4x的图像是((3)函数ylog2x的图像是((4)函数ylog1x的图像是(2)；)；)；

)．yABCxD

01答案依次是：C、B、A、D．

[说明]对数函数轴；当0ylogax的图像，当a1时，底数a越大，其图像越靠近x、ya1时，底数a越小，其图像越靠近x、y轴．

例4：若a0且a1，则函数yax11的图像一定过点_______；函数yloga(x1)1的图像一定过点________．分析：分别过点(1，0)，(2，1)．

xya[说明]指数函数的图像恒过点(0 ，1)；对数函数ylogax的图像恒过点(1，0)．

例5：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（学生活动）

《课本》第18页例2 例6：比较下列两数的大小：1(1)log0.1与log20.013(3)log35与log54

20 11(2)log5与log622(4)log0.32与log20.3

分析：(1)底数00．11，真数011根据对数函数的性质331得log0．0，又底数21，真数00．011根据对数函数的131性质3得log20．010，得：log0．log20．01．1311(2)log5log6；(3)log35log34；(4)log0．3．32log20．22[说明]比较两对数大小的常用方法：

1．底数相同时，利用对数函数的单调性来比较；

2．底不同真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的问题再比较；

3．底与真数都不同时，利用0、1或-1等中间量进行比较．

3．问题拓展（**）

例：(1)若ylg[(1a2)x2(1a)x1]的定义域R为，求实数a的取值范围．(2)若ylg[(1a2)x2(1a)x1]的值域为R，求实数a的取值范围．分析：(1)当a1时，ylg10，xR，符合题意；当a1时，ylg(2x1)，不符合题意；当a1时，由题意，二次函f(数x)(1a2)x2(1a)x1031a0对一切实x数均成立，必须a1，225(1a)4(1a)03综上可得a：(,1]．5(2)令t(1a2)x2(1a)x1,则ylgt，因为y取遍一切实数，所以t应取遍一切正数．当a1时，ylg10，不符合题意；1当a1时，ylg(2x1)，只须x即可符合题意；2当a1时，由题意，二次函数t(1a2)x2(1a)x1的函数值要取遍一切正数，

2

1a121a03必须1a，3225a或a1(1a)4(1a)05综上可得：a[1，

3]．521

[说明] 本问题教师可根据学校、学生的实际需要选择使用. 三、巩固练习（学生活动）

1．当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是(解：答案是(A)．

0x0x0x)．yyyy0xB1)的图像．2．作出函数ylog2(x

ACD解一：先作出其反函数y2x1的图像，再画这个图像关于直线yx的对称图形，即为所求作的函数ylog2(x1)的图像．

解二：先作出函数ylog2x的图像，再向右平移1个单位即可．

解三：用描点法作出函数ylog2(x1)的图像．3．根据条件，确定字母a的取值范围：(1)loga2a0(3)loga1(2a1)03(2)loga212a1(4)yloga(x2ax1)的定义域为R；

(5)函数f(x)logax(2x4)的最大值比最小值大2．1分析：(1)a1．(2)2a12．212(3)a1或a．(4)0a1或1a2．23(5)若a1，得ylogax在[2，4]是增函数，故loga4loga2loga22a2；若0a1，得ylogax在[2，4]是减函数，122a．222综上得：a2或a．2故loga2loga4loga

22

四、课堂小结

本节课的内容是对数函数的概念、图像和性质，在理解对数函数概念的基础上，掌握和运用对数函数的图像和性质是本节课的重点和难点．由于对数函数与同底的指数函数互为反函数，其图像关于直线yx对称，所以由指数函数的图像相应地得到对数函数的图像，并由对数函数的图像特征，再类比指数函数的性质得到对数函数的性质．在学习、理解和运用对数函数的性质时，要注意避免与指数函数的性质相混淆，既要数形结合，又要分类讨论．

求函数ylogaf(x)的定义域、值域以及比较两对数值(式)大小是对数函数性质的主要运用．要注意方法的归纳总结．

五、作业布置

数学《练习部分》高一第二学期P5习题4．6 A组

【教学反思】

本节课主要是利用刚刚学过的“互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称”这一重要性质，采用多媒体进行直观教学，通过演示图形的动态变化，引导学生利用已学过的“指数函数的图像与性质”等知识去主动探索，通过观察、分析、类比归纳得出对数函数的概念、1图像及性质．再类比指数函数底数的大小比较、yax与y图像关于y轴对称等性a质推导出对数函数底数的大小比较、ylogax与ylog1x图像、ylogax与axyloga1图像关于x轴对称等性质．

x围绕本节课的教学重点和难点，本人对课本例题进行了变式及提高，并作了方法指导，巩固训练设计了分层次的能力训练，并有较大难度的问题拓展，以满足不同层次学生的需求，积极发挥课堂教学的基础型、拓展型和研究型功能，以培养学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力．

在课堂教学中教师要遵循“学生为主体”的教学原则，采用启发式教学，要针对学生特点及本节内容采用启发、引导、探究、讨论、训练、总结和拓展等教学方法，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，努力调动学生学习的积极性，努力激发学生学习的热情，使学生有开阔的思维时间和空间，让学生积极参与，主动发展，让学生的主观能动性和潜力得到充分的发挥，使学生“学”有所“思”，

“思”有所“悟”，“悟”有所“得”，

“得”有所“能”，“能”有所“创”，提高学生的数学思维和创造性思维能力．

23

4.7

简单的指数方程

【教学内容分析】

本节内容是在学生学习了函数的基本性质，又研究了几个基本的初等函数之后学习的内容.指数方程是一种超越方程，以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的指数方程.因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习. 【教学目标】

1．知识与技能：理解指数方程的概念，能求解简单的指数方程，能应用所学知识解决简单的实际问题。

2．过程与方法：掌握简单的指数方程的基本解法，能将指数方程转化为有理方程。

3. 情感、态度、价值观：通过指数方程的学习，感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想。. 【教学重点及难点】

重点：指数方程的概念、简单的指数方程的解法.

难点：感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法. 【教学流程设计】

实例引入

指数方程的概念

24

转化

换元法、取对数法

解法

数形结合、等价转转化

化、观察论证等方法

巩固与深化

课堂总结

【教学过程设计】

一．情景引入

1．思考：

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：若要使剩留量为原来的一半，约须经过多少年？

2．回顾：

方程的概念、已经学过有哪些方程. 3．讨论：

引例中的方程有何特点，该如何给指数方程下一个定义.

二．学习新课

1．概念辨析

指数里含有未知数的等式叫做指数方程

3270， 思考（学生活动）：方程：x3，方程：方程：方程：x3x，(x1)x5，方程：396x0

中，哪些是指数方程？

2．例题分析

由一元一次方程：2x30，我们将未知数x移到2的指数位置上，得到：23，这是一个最简单的指数方程，我们就从最简单的指数方程开始，来研究简单的指数方程的一些基本解法

例1解方程： 23（学生活动）

解：思路一，要解出x，可以利用指对数互换得：xlog23

思路二，要解出x，即要把x“拉下来”，可以考虑在方程两边取以2为底的对数得：log22xlog23，利用对数运算性质得：xlog23

思路三，可以考虑利用同底的指数幂相等，则它们的幂指数相等，化同底，由对数中的恒等式得：22xlog232x2xxxx，得：xlog23

由学生总结解题的方法，并解决引例中的问题

老师指出：解决这类方程的三种思路中，都是等价转化的思想，其实质是利用对数的意义把在指数位置上的变量“拉下来”，从而解决问题，因此这类方程的解法可以归类为“取对数法”. 巩固练习：解方程：（1）933 （2）5xx13x1（学生活动）

2解：（1）原方程的解为：x3（可用上例中的方法解决问题，解略） 4解：（2）两边取以3为底的对数（也可以5为底或以10为底）得：

log33x21log35x1x21(x1)log35(x1)(x1log35)0

得原方程的解为：x1或x1log35

[说明] 这个练习，是让学生熟悉上述例1中的基本思路，学生讨论解决，老师评讲. 例2解方程：432

xx1160

（学生活动）

25

解：（让学生观察方程的结构特点，注意到2与4之间的关系，通过换元，将此方程化为一元二次方程来解决问题.这里要注意换元后新变量的范围）

令2t0t6t160t8或t2（舍），即282，得原方程的解为：x3

由学生总结解题方法

强调：在解指数方程时，换元法是很重要的一种方法，它可以使复杂的方程化为你所熟悉的方程去解决.

巩固练习：解方程：52x15x1250（学生活动）

x2x3xx(5x)2t2xx55250，令5t05t2500，得：

解：原方程化为：55x2t25或t50（舍），即5255x2，故原方程的解为：x2. （学生练习，老师评讲）

3．问题拓展

引导学生讨论、总结上述指数方程的几种基本类型及解法

（1）af(x)bf(x)logab(a0且a1,b0)

（2）af(x)ag(x)f(x)g(x)(a0且a1)

（3）af(x)bg(x)f(x)lgag(x)lgb(a0且a1,b0且b1)（一般可取x常用对数）

x

（4）f(a)0(a0且a1)，换元，令at，注意新变量范围，将原方程化为关于t的代数方程，解出t，解出x

[说明]

前三类方程都可以取对数解决，第四类是换元法解决，注意解法中等价转化的思想

进一步拓展

例3（*）．方程：2x2，（1）判断方程解的个数

（2）求方程近似解（精确到0.1）

解：（此题可以用数形结合思想，分别画出函数y2x与yx2的图像，将方程解的个数问题转化为两个函数图像交点的个数问题，而方程近似解，则可根据图像判断出解的大致范围，用二分法得出近似解）

xyy=2x（1）

令y2，yx2，如图，得交点个数为1个，故方程的1xy=-x+21解的个数为1个

x（2）

由图中可判断方程的解O

三．课堂小结

x0.5

x(0,1)，用二分法得：引导学生总结上述两例的解法及其蕴涵着的重要的数学思想

引导学生总结，老师补充

26

（1）指数方程的定义

（2）简单的指数方程的基本类型及其解法

（3）解指数方程过程中蕴涵的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想与方法

四．作业布置

1．自习书上例3（简单的应用）

2．书上习题4.7中的1，2，3，4 【教学反思】

本节课是《简单的指数方程》的教学，指数方程本身是一种超越方程，在目前中学阶段，以学生的知识水平，只能掌握一些基本类型的、简单的指数方程的解法，但其中蕴涵着的一些重要的数学思想与方法、研究问题的方法是要求学生有所体会和感悟的. 因为指数方程也是根据实际问题需要而引入的，所以以实际问题引入较为合适，并能使学生感到学习这部分知识的必要性. 由于学生从没有学习过指数方程，所以应从最简单的指数方程开始，引导学生探讨一些基本解法，引导学生体会其中等价转化的思想.由于指数方程的基本类型及解法不止一种，所以课上我是将“巩固练习”这一部分内容分别穿插在各种类型讲解后进行，最后再进行拓展，进行归纳总结其基本类型及解法，这样可能更有利于学生掌握这些解法. 方程与函数有着紧密的联系，因此，在进一步拓展中，我补充了例题3，目的是让学生感悟方程与函数的思想及观察论证的思想.有些简单的指数方程，代数方法解决不了，那么应该想到数形结合的思想方法，故我补充了例题4，目的是让学生体到：用数形结合的思想方法，可通过函数图像，将方程解的问题转化为函数图像的交点问题来解决. 关于本节课的教学，应该让学生掌握的是基本类型的基本解法，要让学生感悟重要的数学思想与方法，技巧性方面应淡化.

27

4.8 简单的对数方程

【教材内容分析】

本节是在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排的.由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的允许值范围. 【教学目标】

1．知识与技能：理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法. 2．过程与方法：理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法. 3. 情感、态度、价值观：运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，领会化归、数形结合的数学思想，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力. 【教学重点及难点】

对数方程的解法；对数方程的增根与失根；造成增根与失根的原因. 【教学流程设计】

复习引入

方法

对数方程

类型

巩固与提高

【教学过程设计】

课堂小结并布置作业

28

(一)复习引入新课

1、练习：

求下列函数的定义域(请两位学生板演)．

1．y=log2(x-x-2) 2．y=log(x-2)4 (学生板演后教师评讲) 2、提出问题：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？

可以得到两个等式：log2(x-x-2)=2及log(x-2)4=2．

反问：这是方程吗？

3、然后师生共同得出：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程．

(二)对数方程的解法

一些简单的对数方程是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎么解呢？是否能将其转化为已学过的普通方程解呢？(这里体现了化归思想．) 引导学生将方程转化为：(x-2)=4．

解得x1=4，x2=0．

提出问题：它们是原方程的解吗？

引导学生得出x=0不是原方程的解，因为当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解．

提出问题：那为什么会出现这种情形呢？

引导学生进行分析：实际上将原方程log(x-2)4=2转化为新方程(x-2)=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且x≠3}，扩大为{x|x∈R且x≠2}，这样就可能产生增根.由此，指出验根的必要性.

小结：形如logg(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)再求解，注意需验根．

例1

如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃a2222

29

料外）的质量m(kg)之间的关系是v2ln(1M)，（学生活动）

m当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到

（1）8km/s（精确到0.1倍） （2）12km/s（精确到0.1倍）

解：（1）根据题意，得

2ln(1所以MMM)8,ln(1)4,1e4

mmmMe4154.6153.6（倍）

mMe61403.41402.4（倍）

m（2）用同样方法，可得综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的53.6倍和402.4倍时，火箭的最大速度能达到8km/s和12km/s. 例2：解方程log2(x14)log2(x2)3log2(x6)（学生活动）

分析：利用对数运算性质变形为logaf(x)logag(x)

解：原方程可变形为：log2(x14)(x2)log28(x6)

可得：x8x200

解得：x110,x22

经检验：x10是增根，原方程的根是x2

教师：我们注意到原方程允许解的范围是{x|x2}，而变形后方程：x8x200允许解的范围扩大了，因为x10，10{x|x2}，所以方程产生增根. 小结：形如logaf(x)logag(x)的对数方程可用“同底法”脱去对数符号，得f(x)g(x)，解出x后，要满足22f(x)0. g(x)0例3

解方程(log3x)2log93x2（学生活动）

解：运用换底公式把原方程化为：(log3x)化简得：2(log3x)log3x30

22log33x2

log39

30

令log3xy，则2y2y30

解得：y11,y23

2由log3x1得x13

由log3x33得x2

29经检验：x13，x223都是原方程的解. 92小结：形如A(logax)+Blogax+C=0的方程用换元法，令logax=y，将原方程化简为Ay+By+C=0，然后解之．

(三)学生练习

1．解下列方程

1lgx=4；

○2lgx＝4；

○3lg(x-x-2)=lg(6-x-x) ○4loga(x+3)=2．(a>0,a≠1) ○2．解下列方程

1 lg(2-x)+lg(3-x)=lg12 ○2lg(x+75)-lg(x-4)=2 ○3log3(log4x)=0 ○4log2x+2log4x+log8x=7 ○例4（*）：求方程x+lgx=3的近似解

分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，目前只能用数形结合法求其近似解．

解：原方程化为：lgx=3-x 令y=lgx，y=3-x，在同一坐标系内画出函数y=lgx与y=3-x的图像，求得交点的横坐标x≈2.6，这个x值近似地满足lgx=3-x，所以它就是原方程的近似解．

31 22222

小结：1．对于一些非常规对数方程可用数形结合法求近似解或研究其解的个数．

2．目前我们只学习了简单对数方程的解法．

(四)小结

1．简单对数方程的解法：

①型如logg(x)f(x)=a：化指法；

②型如logaf(x)=logag(x)：同底法；

③型如A(logax)+Blogax+C=0：换元法；

④数形结合法．

2．解对数方程验根是必不可少的．

3．增强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里体现的化归、数形结合等．

（五）作业：习题4.8 【教学反思】

（一）关于教学内容

本课时是研究对数方程的第一课时，主要是研究几种简单的对数方程的求解.因为对数方程的求解方法主要是将其转化为代数方程再进行求解，在转化过程中有时会将其范围扩大，所以要对方程的根进行检验.通过本节课的学习，不仅可以让学生运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，使学生领会化归、数形结合的数学思想，还能培养学生应用数学知识的意识，提高他们分析问题和解决问题的能力. （二）关于教学方法

为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能充分的开动思维，参与教学全过程.

2

32