复习题教案设计（一等奖）

第三章

变量之间的关系

回顾与思考

中牟县第五初级中学 冯潇霞

一、

学生起点分析：

七年级上学期中，教科书已经在代数式求值、探索规律等方面渗透了变化的思想，而本章是第一次集中讨论变量之间的关系，研究现实世界中的变化规律，使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。

在前面相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生对本章知识的认识，提出了本课的具体学习任务：回顾总结表示变量之间的方法，学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测。从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有条理的思考和进行表达的能力。能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系. 三、教学设计分析

第一环节：知识梳理

1、举例说明常量、变量；

2、

举例说明自变量和因变量；

3、表示变量之间关系的方法有哪些，各有什么特点。

变量之间的关系

丰富的现实情境

列表法

自变量和因变量

变量之间关系的探索和表示

关系式法

利用变量之间的关系解决问题、进行预测

第二环节：典型例题

图像法

例1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：

所挂物体的质量/千克

弹簧的长度/cm 0 12 1 12.5 2 13 3 13.5 4 14 5 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？

(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？

说明：用表格来表示变量之间关系，其优点是：对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到（如本题0千克与12cm这组对应值），其不足之处是：表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例10千克与17cm这组对应值，表格中没有反映出来），难以反映变量之间变化的全貌。

例2．如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。

(1)这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？

(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是__________________；

(3)若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？当x=2.5cm体积是多少cm3

(4)根据以上关系式填下表：

(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？

(6)请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？

x/cm y/cm3 1

2

3

4

5

6

7

8

9

说明：用关系式表示变量之间关系，其优点是：比较准确，有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。（如本题5cm与500 cm3这组对应值），其不足之处是：关系式反应的两个变量之间的关系比较抽象，只有借助列出部分自变量与因变量对应值表才能看出变化的特点。

例3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。

（1）小红与小兰谁先出发？谁先达到？

（2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。

（3）小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？

（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？

5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 60 t/分钟

s/千米

实线---小兰

虚线---小红

说明：用图象表示变量之间关系，其优点是：能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，其不足之处是：表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。

例4．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时，行驶的路程为s千米. （1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？

(2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。

（3）该汽车行驶2.5小时的路程是多少千米？

（4）一段公路全长350千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？

说明：用关系式、表格、图象三种不同的方法表示一个问题中的两个变量之间的关系，进一步体会三种表示方法的优点和不足；体会三种不同方法互相取长补短来共同研究，这也是今后我们学习函数的重要的方法

例5．分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.

说明：通过本题培养学生的思维的灵活性和合理的想象能力、语言的表达能力，进一步体会用图像来反映两个变量之间的关系。

（1）可以把x和y分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：小华骑车从学校回家，一段后，停下来修车，然后又开始往家走，直到回家；

（2）可以把x和y分别代表时间和速度，那么这个图可以描述为：一辆汽车，减速行驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来. （3）可以把x和y分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：一个水池先放水，一段后，停止，随后，又接着放水直到放完. （4）可以把x和y分别代表时间和高度，那么这个图就可以描述为：一架飞机从一定的飞行高度慢慢下降一个高度，然后在这一高度飞行了一段时间后，快到机场时，开始降落，最后降落在机场. 第三环节：自主反馈

1. 2012年6月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：

温度/℃

(1)这天的最高气温约是 ℃；

(2)这天一共有 个小时的气温在24℃以上；

(3)这天在 范围内温度在上升；

28 26 24 这天在 范围内温度在下降；

(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。

22 20 2.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

时间t/秒

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 3 6 9 12 15 18 21 24 时间

1 5×1 …

…

高度 h/米

5×0.25 5×0.36 5×0.49 5×0.64 5×0.81 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

(3)请你列出果子落下的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式。

3．某种油箱容量为60升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量Q（升）随汽车行驶时间t（时）变化的关系式如下：Q＝60－6t (1)请完成下表

汽车行驶时间t/小时

油箱的油量Q/升

0 60 1

2.5

4

(2)汽车行驶5小时后，油箱中油量是 升

(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为12升，则汽车行驶了 小时

(4)贮满60升汽油的汽车，最多行驶 小时

(5)下面哪个图像能够反映变量Q与t的关系的是（ ）

Q Q Q t （A）

t t （B）

（C）

第四环节：课堂小结

活动内容：畅谈这节课的收获和体会

活动目的：让学生通过畅谈自己的收获的体会，巩固所学知识，感受解决问题的过程中蕴含的数学思想与方法.

活动注意事项：本节课是复习课，题目涵盖本章知识点，在解答的过程中学生肯定有不少收获和感想，在小结时让学生互相交流，加深对知识的理解，还可以让学生说说困惑，结合具体题目进行点拨。

第五环节：

布置作业

四、教学设计反思

1.本节课让学生完成全章知识结构图，使他们亲自经历知识梳理的过程，进一步感受变量之间关系的各种形式，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测，进而形成自己的知识体系。题目类型设计比较具有综合性、灵活性。

2.课后作业可以分层来布置，基础比较薄弱的同学可以采用课本复习题中的题目，基础相对较好的同学可以选用附加的练习题。这样就可以让每一个学生都能感受到成功的快乐，找到学习的自信.。

3．实际教学时可以根据学生的特点将复习课的上课形式设计得更加灵活多样，除了传统的师生问答，还可以采用分组竞赛、必答抢答等方式，让学生在活泼又不失紧张的学习氛围中快乐的学习.