实习作业名师课堂实录

基本初等函数、函数与方程(李成宽) [全国卷3年考情分析]

年份

2018

2017

全国卷Ⅰ

分段函数的零点问题·T9

指数与对数的互化、对数运算、比较大小·T11

利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较大小·T8

全国卷Ⅱ

全国卷Ⅲ

对数式的比较大小问题·T12

函数的零点问题·T11

利用指数函数与幂函数的单调性比较大小·T6

2016

(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～12题的位置，有时难度较大．

(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视．

增分考点考点一

基本初等函数的图象与性质

深度精研

[析母题——高考年年“神”相似] [典例]

(1)若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为(

)

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是单调递减函1log3，f(log53)的大小关系是(

) 数，则f(log25)，f51log3

(1)由a|x|≤1(x∈R)，知0

1log3＝f(－log35)＝f(log35)．

所以f5由对数函数的单调性可知，log25>log35>1>log53>0. 又因为f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，

所以f(log53)>f(log35)>f(log25)，

1log3>f(log25)．

即f(log53)>f5[答案]

(1)C

(2)D

[练子题——高考年年“形”不同] 1．本例(1)变为：若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(

)

解析：选B

∵y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B. 2．本例(1)变为：若函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(

)

解析：选C

法一：由函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，得2a＝4，∴a＝2，则g(x)＝|loga(x＋1)|＝|log2(x＋1)|，将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x轴下方的图象翻折上去，即可得g(x)的图象，故选C. 法二：由函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，得2a＝4，∴a＝2，即g(x)＝|log2(x＋1)|，由g(x)的定义域为{x|x>－1}，排除B、D；由x＝0时，g(x)＝0，排除A.故选C. 3．本例(2)变为：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)1log3，f(log53)的大小关系是________．

是单调递增函数，则f(log25)，f51解析：由对数函数的单调性知log25>log53>log3.又f(x)在R上为奇函数且当x∈[0，

5

1log3. ＋∞)时，f(x)为增函数，∴f(x)在R上为增函数．∴f(log25)>f(log53)>f51log3

答案：f(log25)>f(log53)>f54．本例(2)变为：设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，1x2，f5，f1的大小关系是(

) 且当x≥1时，f(x)＝－1，则f3542215A．f5>f2>f4

125C．f2>f5>f4

251B．f5>f4>f2

512D．f4>f2>f5

解析：选D

因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数f(x)的图28131x－1单调递减，象关于直线x＝1对称，所以f＝f，f＝f.当x≥1时，f(x)＝552238355382

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0

(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．

(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．

[多练强化]

1．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(

) A．a＋b

C．a＋b<0

B．ab

D．ab<0

解析：选B

∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3

a＋b11∴ab<0.∵ab＝a＋b＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，

∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，

a＋b∴00，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(

) 65A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选C

∵当a>1时，函数y＝a－ax在[0,1]上单调递减，∴a－1＝1且a－a＝0，解得a＝2；当00围是________．

－x

3－1，x≤0，解析：f(x)＝1作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在[－1，x2，x>0m]上的最大值为2，又f(－1)＝f(4)＝2，所以－1

－x

答案：(－1,4] 广度拓展

考点二

函数与方程

增分考点·题型一

确定函数零点个数或所在区间

[例1]

(1)(2018·邯郸月考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2)

D．(3,4) π3x＋在[0，π]的零点个数为________．

(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos6[解析]

(1)法一：因为f(1)＝0＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. 法二：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作出图象如图所示．

由图可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．

ππ(2)由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，

62ππ19π，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈6，

66ππ3π5π∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，

6222

π3x＋在[0，π]的零点个数为3. 即函数f(x)＝cos6[答案]

(1)B

(2)3 [解题方略] 1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法

(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；

(2)利用零点存在性定理进行判断；

(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

2．判断函数零点个数的3种方法

题型二

根据函数的零点求参数的范围

xe，x≤0，[例2]

(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2ln x，x>0，

个零点，则a的取值范围是(

) A．[－1,0) C．[－1，＋∞)

B．[0，＋∞)

D．[1，＋∞) (2)已知定义域为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18.若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为(

) A.0，C.0，3

35

5

B.0，

D.0，2

26

6[解析]

(1)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝

－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故

选C. (2)∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，f(x)是偶函数，∴f(1)＝0，∴f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，作出函数y＝f(x)与g(x)＝loga(x＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，

∴g(2)＝loga3>f(2)＝－2，且0

(1)C

(2)A [解题方略] 利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法

3，故选A. 3

直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用

3，x≤1，[典例]

已知函数f(x)＝logx，x>1，则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(

) 13A．1 C．3

B．2

D．4 x

[解析]

函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象的交点的个数．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B. [答案]

B

[素养通路]

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．

本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．