信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学设计与反思

3.1 函数与方程

张颖霞

[教学目标] 1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．

2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解得常用方法．

3．在用“二分法”求方程近似解的过程中，使学生进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

[教学要求]

教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．教科书不仅希望学生在数学知识上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中介绍中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这一内容可以在教学过程中适当进行处理．

[教学重点] 用“二分法”求方程的近似解．

[教学难点] 如何处理复杂的数值计算；

如何恰当使用计算器．

[教学时数] 1课时

[教学过程] 第一课时

3.1.1方程的根与函数的零点（1）

新课导入

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讨论：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc(a0)数的图象有什么关系？

先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．

方程x2x30与函数yx22x3；

方程x2x10与函数yx22x1；

方程x2x30与函数yx22x3；

再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．

通过讨论得出：（课本第87页）

一元二次方程ax2bxc0(a0)有两不同根就是相应的二次函数222yax2bxc0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个重根就是相应的二次函数yax2bxc0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程axbxc0(a0)无实数根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴没有交点；

总之，一元二次方程axbxc0(a0)的根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴的交点的横坐标．

点明本节课题：方程的根与函数的零点

新课进展

一、函数的零点

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero

point）．

显然，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

2

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

课堂例题

例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x3x50；（2）2x(x2)3；

课堂练习（课本第88页练习1）

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（3）x4x4；

（4）5x2x3x5．

布置作业

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x3x50；（2）2x3x30；（3）2x3x1．

本课小结

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程2222222f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解．

4．布置作业

课本第92页习题3.1A组第1、2题；

课本第112页复习参考题A组第1题．

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