小结ppt配套教案板书设计

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.3

幂函数

学习目标

①掌握幂函数的形式特征及具体幂函数的图象和性质; ②能应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题.

合作学习

一、设计问题,创设情境

请看下列问题,并将每个问题中的y表示成x的函数.

1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克,那么她需要支付y=

(x>0)元;

2.如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=

(x>0);

3.如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y=

(x>0);

4.如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形场地的边长y=

(x>0);

5.如果某人以x m3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水,那么他注水的时间y=

(x>0).

二、自主探索,尝试解决

思考:

1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析式结构上的共同特征吗? 2.根据我们学习的函数的概念,你能不能判断它们能否构成函数?是我们学习过的哪类函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字? 幂函数的定义(形式定义): 请同学们举出一个具体的幂函数.

三、信息交流,揭示规律

y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,y=x-2.

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.

总结函数性质,填写表格.

y=

y=x3

y=x2

y=x

定义域

y=x-1

y=x-2

值域

[来源学*科*网

[来源学科

[来源:Zxxk.Com]奇偶性

单调性

[来源学科网Z*X*X*K]

网][来源学。科。

ZXXK]

网]

定点

性质总结如下:

α>0 α<0 在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1) 在[0,+∞)上是增函数

图象过原点

在(0,+∞)上是减函数

在第一象限内,当x从右边趋向于0时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴

四、运用规律,解决问题

【例1】比较下列两个代数式值的大小: (1)2.,2.;(2)(

【例2】讨论函数y=的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

思考与讨论: 幂函数y=xα(α∈R),当α=1,3,5,…(正奇数)时,函数有哪些性质?

【例3】证明幂函数f(x)=

五、变式演练,深化提高

1.下列函数中,是幂函数的是(

)

A.y=-

B.y=3x2

C.y=

D.y=2x

在[0,+∞)上是增函数.

,(;(3)(a+1)1.5,a1.5;(4)(2+a2.

2.下列结论正确的是(

)

A.幂函数的图象一定过(0,0)和(1,1)

B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数

C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数

D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数

3.函数y=的图象大致是(

)

4.幂函数y=的单调递增区间是

.

5.a=1.,b=0.6.幂函数f(x)=a,c=1.的大小关系是

.

(m∈Z)的图象与x轴和y轴均无交点,并且图象关于原点对称,求a和m.

六、反思小结,观点提炼

1.

2.

3.

七、作业精选,巩固提高

1.课本P79习题2.3.

2.下列函数中,是幂函数的是(

) A.y=2x B.y=2x3

C.y=

D.y=xx

3.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是(

) A.y=x3

B.y=x2

C.y=

D.y=

4.已知某幂函数的图象经过点(2,

),求函数的解析式.

参考答案一、设计问题,创设情境

1.x

2.x2

3.x3

4.

5.x-1

二、自主探索,尝试解决

幂函数的定义(形式定义): 一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

y=x-1,y=,y=x4,y=x0,y=x-3等.

三、信息交流,揭示规律

y=x3

y=x2

R

[0,+∞) y=x

R

R

y=

[0,+∞) [0,+∞) y=x-1

y=x-2

定义域

R

值域

R

{x|x≠0} {x|x≠0} {y|y≠0} (0,+∞) 偶函数

在(-∞, 0)增

在(0, +∞)减

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

奇函数

在( -∞, 单调

性

递增

0)减

在(0, +∞)增

定点

(1,1) 递增

[0, +∞)增

在(-∞, 0)减

在(0, +∞)减

四、运用规律,解决问题

【例1】解:考查幂函数y=,因为y=在(0,+∞)上单调递增,而且2.3<2.4,所以2.<2.; 以下各题同理可解:(2)(>(;(3)(a+1)1.5>a1.5;(4)(2+a2.

【例2】解:要使y=故函数定义域为R.

有意义,x可以取任意实数,

∵f(-x)=(-x=f(x), ∴函数y=是偶函数;

x

0 1 2 3 4 2.52

…

…

y

0 1 1.59 2.08

其图象如图所示.

幂函数y=在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.

思考与讨论:定义域为R,值域为R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数.

【例3】证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1

f(x1)-f(x2)=, 因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以<0.

所以f(x1)

五、变式演练,深化提高

1.C

2.D

3.D 4.[0,+∞)

5.a>b>c

6.a=1,m=1,3,5,7 六、反思小结,观点提炼

1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别; 2.常见幂函数的图象和性质; 3.幂函数性质的应用.

七、作业精选,巩固提高

2.C

3.A

4.y=