习题2.1课时教案

习题2.1 指数函数习题课

[学习目标]1．理解指数函数的概念和意义．

2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．

3．初步掌握指数函数的有关性质．

[知识链接]

1．ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br. 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2．在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y＝2x，x∈{0,1,2，…}．

[预习导引]

1．指数函数的定义

函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变

量，函数的定义域是R. 2．指数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1 图象

定义域R，值域(0，＋∞) 图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 性质

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

在R上是增函数

当x＞0时，0＜y＜1；

当x＜0时，y＞1 在R上是减函数

要点一

指数函数的概念

例1

给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(

) A．0

B．1

C．2

答案

B D．4 解析

①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．

规律方法

1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．

跟踪演练1

若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．

4答案

{a|a＜3，且a≠1} 解析

y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：

4－3a＞0，4解得a＜3且a≠1. 4－3a≠1，4故a的取值范围为{a|a＜3，且a≠1}．

要点二

指数函数的图象

例2

如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(

)

A．a＜b＜1＜c＜d

C．1＜a＜b＜c＜d

答案

B 解析

法一

在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．

由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1. ∴b＜a＜1＜d＜c. B．b＜a＜1＜d＜c

D．a＜b＜1＜d＜c

法二

作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.

规律方法

1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．

2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．

跟踪演练2

(1)函数y＝|2x－2|的图象是(

)

(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．

1答案

(1)B

(2)0＜a＜2

解析

(1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的．

(2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2))．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞01且a≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜2.

要点三

指数型函数的定义域、值域

例3

求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝211；(2)y＝1－2x；(3)y＝2x2－2x－3. x－4解

(1)由x－4≠0，得x≠4，

故y＝2又1的定义域为{x|x∈R，且x≠4}．

x－411≠0，即2≠1，

x－4x－41的值域为{y|y＞0，且y≠1}．

x－4故y＝2(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，

∴y＝1－2x的定义域为(－∞，0]．

由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，

∴y＝1－2x的值域为[0,1)．

1(3)y＝2x2－2x－3的定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，

11∴2x2－2x－3≤2－4＝16. 1又∵2x2－2x－3＞0，

12故函数y＝2x－2x－3的值域为(0,16]．

规律方法

对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，

(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；

(2)值域问题，应分以下两步求解：

①由定义域求出u＝f(x)的值域；

②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．

跟踪演练3

(1)(2013·山东高考)函数f(x)＝1－2x＋(

) A．(－3,0]

C．(－∞，－3)∪(－3,0]

3,1] 1(2)函数f(x)＝3x－1，x∈[－1,2]的值域为________．

8答案

(1)A

(2)[－9，2] 1的定义域为x＋3B．(－3,1] D．(－∞，－3)∪(－解析

(1)求函数定义域就是求使这个式子有意义的自变量x的取值范围，本题需满足二次根式下的式子大于等于0，分母不能为0，然后取交集．

x1－2≥0，由题意，自变量x应满足

x＋3＞0，

x≤0，解得∴－3＜x≤0. x＞－3，11x81x8(2)∵－1≤x≤2，∴9≤3≤3，∴－9≤3－1≤2，∴值域为－9，2. 