小结名师教学设计2

第二章

基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，*其中n>1，且n∈N．



负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。

当n是奇数时，nana，当n是偶数时，nan|a|2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

na(a0)

a(a0)anam(a0,m,nN*,n1)amnmn，1armn1nam(a0,m,nN*,n1)



0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）a·aarrs

x(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）

rrs(ab)aa

（3）(a0,r,sR)；

(a0,r,sR)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0

0-1246

定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

定义域 R 值域y＞0 在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

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注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果aN(a0,a1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：xlogaN（a—

底数，N—

真数，logaN—

对数式）

说明：○1

注意底数的限制a0，且a1；

2

axNlogaNx；

○3

注意对数的书写格式．

○两个重要对数：

1

常用对数：以10为底的对数lgN；

○2

自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．

○

指数式与对数式的互化

幂值 真数

xlogaN

ab＝ NlogaN＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：

1

loga(M·N)logaM＋logaN；

○MlogaM－logaN；

N3

logaMnnlogaM (nR)．

○2

loga○注意：换底公式

logablogcb

（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca利用换底公式推导下面的结论

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（1）logambn1n（2）logab．

logab；mlogba（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y2log2x，ylog5x

都不是对数函数，而只能5称其为对数型函数．

2

对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．

○2、对数函数的性质：

a>1 32.521.50

-2.5

定义域x＞0 值域为R 在R上递增

函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

定义域x＞0 值域为R 在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0，a0，函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是

( ) x第

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log272log522.计算：

①log32 ;②24log23= ；2535= ; log27641③0.064(7)0[(2)3]160.750.01 = 13431283.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

224.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= f(x)0的5.已知f(x)log1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使a1xx的取值范围

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