小结课堂实录【3】

空间向量的数量积

教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

一、复习：

1、平面向量的数量积的定义___________________________

2、几何意义_____________________________

二、新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；

规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

2．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|co叫做a,b的数量积，记作ab，即sab,ab|a||b|co．

sab,特别地（1）零向量与任何向量的数量积为0

（2）ae|a|cosa,e=a

（3）abab0．

（4）|a|2aa．

3、ab的几何意义___________________________ 4．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

三、例题分析：

例1．证明三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，

那么它也和这条斜线垂直

已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l,lOA，求证：lPA

变式：证明三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

例2．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

g

n

例3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角

llmnmg

四、课堂练习：

1、空间向量a、b满足a=4，b=8，a,b=（1）（a+2b）∙a=_____________, （2）（a+2b）∙(2a−b)=__________________ 2、课本92页练习1、2、3

五．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。

六、课后作业：

1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2

（2）(a2bc)2

（3）(3a2b)(b3c)

2、下列式子正确的是______ A、（a∙b）=a∙b

B、a∙b



a

b

C、a

a=a

D、a（a∙b）=（a∙a）b

3、非零向量a、b不共线，其模相等，则a+b与a−b的关系是______ A、垂直

B、共线

C、不垂直

D、以上都可能

4、若a、b是两个非零向量，且a222，求

3∙

b=b∙

a，则a、b的关系是______

A、相等

B、共线不一定相等

C、不共线

D、a、b为任意非零向量

5、若a、b是两个非零向量，则a∙b=ab是a与b共线的______ A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

6、abc0，a=2，b=3，c4，则a,b=______ A、2

B、

C、

D、

33427、i,j,k是两两垂直的单位向量，a2ijk,bij3k，则a∙b=______ A、2

B、

1

C、1

D、2 8、设A、B、C、D是空间不共面的四点，满足ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是_____ A、钝角三角形

B、直角三角形

C、锐角三角形

D、不确定

9、mab,nab，a,b=

10、如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，3，mn

，求实数的值

4OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

O

A

B

C