信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学目标

微专题：椭圆特殊内接四边形面积的最值问题

【授课教师】成都市第十二中学 张扬 【授课班级】高2016级10班

【授课时间】2018年5月21日下午第二节 【课程类型】高二零诊复习课

一、教学分析设计

【教材分析】

圆锥曲线的最值问题是解析几何知识版块中综合性较强的内容，重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、比值等几何量的最值及相关问题.本节课从简单的问题出发，通过问题的提出、问题的拓展、问题的变式等措施，以使学生对圆锥曲线最值问题的本质特征有更新、更深的动态认识，同时也激发学生学习的积极性和钻研的主动性. 高中学***面解析几何的主要任务是用解析法研究平面上几何对象（直线、圆、椭圆、双曲线等），通过代数语言与几何语言之间的相互转换，实现几何问题与代数问题之间的有效转化，能够用运动、变化和对立统一的观点去分析、解决几何问题. 在解析几何中，曲线是具有某种属性的动点轨迹，在用坐标法建立点与有序数对的联系后，点动伴随着数量的变化，那么研究变化中的最值问题自然而生.所以运动就是曲线的灵魂和精华，只有当运动发生时，才会产生变量.所以，在椭圆特殊内接四边形面积的最值问题中，由于点、直线等几何量的运动，引起了内接四边形面积的变化，然后探究这些相关量的相关关系，就是本节课的主要内容.本节课通过分析内接四边形面积的变化，引入相关变量，以变量为桥梁，沟通变量之间的联系，刻画变量之间的函数关系，从而揭示运动变化的本质，解决有关问题. 椭圆特殊内接四边形面积的最值问题，涉及椭圆的定义、方程及其几何性质等核心内容，核心思想是数形结合、函数与转化思想，基本策略主要是通过代数分析和几何分析，建立适当的数学模型（主要是几何模型和函数模型）.其中几何分析宜优先选择，即依据曲线的定义和几何性质，借助几何直观直接作出最值点位置的判断；但当几何关系不明显时，就需要借助代数分析来实现突破，即通过引进参变量，将目标表示为参变量的函数，进而转化为函数的最值问题求解. 根据上述分析，本课的教学内容为通过对圆锥曲线中最值问题的分析与解决，掌握几何分析和代数分析2种基本策略，并能进行简单的应用. 【考情分析】

（1）研读考纲，明确目标

考纲中明确了以下几点：①了解椭圆的实际背景，了解性质在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解椭圆的简单应用.④理解数形结合的思想.本节课依托考纲，通过递进式的问题设置，学生能够发现问题，并能够针对具体的最值问题选择合适的解题策略，积累从具体到抽象的活动经验，提升学生的数学核心素养.

（2）研究考题，掌握考情

由近五年的高考命题形式，椭圆、双曲线、抛物线的综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题．考查方面有利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．

其中椭圆的内接四边形面积的最值问题也是考查的重点和热点，在近5年的全国各省理科高考中，共考察10余次.考察频率相对较高，考查的知识点较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.所以，在备考时，应掌握椭圆特殊内接四边形面积的最值问题的题型与解法，提高运算能力和综合运用知1

识分析解决问题能力，特别关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．

附录1：近五年部分高考题

【目标分析】

（1）掌握解决圆锥曲线中的最值问题的基本方法，体验几何视角确定最值位置、选择恰当的变量建立函数解决最值问题的基本策略，并能独立解释.能根据题意解决与课堂例题同等难度的题目.积累从具体到抽象的活动经验，提升学生的数学合理选择运算方法，培养数学运算素养，直观感知、抽象核心素养；

（2）在例题研讨与问题解决的具体情境中，体验数学中的数形结合、转化与化归及函数与方程思想在最值问题中的应用，体会在零诊前的复习过程中善于积累、提炼策略、回归数学本质的必要性，提升学生的逻辑推理、数学建模核心素养. 【学生分析】

学生已有认知基础：因为是借班上课，所以提前通过对数学学习成绩中等的学生进行的问卷调查、作业面批、个别访谈等得知，他们感觉解析几何解答题的学习困难是：题目变化多端，运算不知道从哪下手，运算复杂难以算到底，遇到困难时缺乏调整思路的经验，等等.此时，如果我们置学情于不顾，仍然一味地进行方法的机械总结、题型的重复训练，必将不断挫伤学生学习的积极性，学生越怕越算不出来，越算不出来越不想算，从而无法突破“5-8分”的瓶颈.具体问题如下: （1）审题往往是薄弱环节，比如按照套路进行盲目求解，导致最终因为计算量等原因无法得出最终答案；不重视目标的导向作用，忽视变量隐含的取值范围导致计算结果出错. （2）分析过程缺乏策略性知识，不能对解决问题的策略作出合理的选择或判断.面对问题的条件和结论，难以激活不同视角做题，对椭圆的参数方程不能灵活运用. （3）代数的运算能力不强，忽视图形中几何关系的推理转化，在一定程度上影响问题解决的执行力. （4）解题习惯于就题论题，缺乏自主性的总结与反思，对解决问题的方法和策略认识模糊，难以形成有效的学习经验. 达成目标所需认知基础：解析法和数形结合、函数与方程思想. 已有基础与需要基础之间的差异：学生虽然已经对圆锥曲线中的最值问题有了一定的了解和认识，但不少学生知识的联系性和系统性较弱，难以把散乱的知识融合在一起解决问题，加上运算能力、数形结合能力及转化能力都还不强.但学生已经完整学习了所有圆锥曲线的概念及其方程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想；学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生有建立函数解决最值问题的经历. 【核心问题分析】

核心问题：解决如下问题，反思椭圆特殊内接四边形面积的最值问题的求解策略. x2y21的上定点和右顶点分别是A,B，例题

（改编自2008年全国高考题）椭圆4过原点且斜率为正值直线l与椭圆相交于点E,F，求四边形AEBF面积S的最大值

. 设计一明一暗两条主线，一条明主线以例题为载体，探究椭圆特殊内接四边形面积最值问题的解题策略，即常规的基础知识、基本技能、基本方法的梳理，有利于学生进一步完善知识结构，形成知识体系，提高解析法的应用能力；另一条暗线就是在例题求解过程中引导学生形成科学的思维习惯，在例题的求解与反思总结过程中抽象出适合自己的解决策略，引2

导学生如何形成良好的学习习惯.同时学生在典型例题的研讨过程中，体会数形结合、函数与方程的数学思想，在问题解决、反思的具体情境中体现对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学素养的培养. 学生充分理解解析几何的本质，以数形结合为指导思想，以坐标法为核心，以运动变化观念为重要视角，用代数手段研究几何图形性质的重要方法.依托形象直观的几何画板软件，学生发现在形的运动中必然伴随着量的变化，进一步在运动变化中，关注变化中的不变量，以及变量的变化趋势，选择合理的运算途径解决问题.让学生在“提出问题—发现问题一反思提升一应用反馈一新的发现……”的认知循环中，螺旋上升，积累更多、更新、更高层次的问题解决模式. 【核心素养分析】

（1）分析问题，探寻问题解决的策略，培养逻辑推理素养. 因为本节课的定位是零诊前的微专题.学生对圆锥曲线的基本知识已经有了一定的遗忘.对于圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围以及存在性问题的理解都比较困难.所以可能在拿到类似于例题这样的最值问题时，会“无从下手”.这时能不能给学生充分搭建脚手架，帮助学生迅速回忆起相关知识和解题策略，就是教师对数学抽象素养的理解与充实程度.本节课的课堂前测，沿着动点与定点的距离——动点与定直线的距离——动三角形面积最值的路径不断探索，引发学生思考在解答最值这类问题的过程中通性通法.

（2）通过回顾动点到定直线、动三角形面积的几何解题方法，培养直观想象素养

如何求解椭圆特殊内接四边形的面积最值问题呢？根据课堂前测的不断推进和强化.学生应该初步有两种选择，一是通过几何直观判断位置，二是利用函数模型代数化求解.因为几何直观的便利性，在处理填空、选择等小题时，学生更偏爱通过几何视角解决问题.但学生因为长期没有进行过圆锥曲线题目的练习，很难直接判断出面积最大值时的具体位置.那如何绕过这个困难，找到解决问题的方案呢? 波利亚告诉我们，解题需要找出己知数据与未知数据之间的联系.如果找不到直接的联系，就不得不考虑辅助题目.回到课堂前测第2小题，2小题的几何视角和例题一模一样，学生再对2小题充分理解后，会对例题的几何视角有更进一步的认识. （3）类比圆的内接四边形面积反演椭圆的内接四边形面积，初步根据伸缩变化抽象出解决方法，培养学生数学抽象素养. 若从圆与椭圆的类比的角度分析，可以通过伸缩变换将椭圆的内接四边形映射为圆的内接四边形.因为圆拥有丰富的平面几何知识可以提供给我们使用，所以可在求解完圆的内接四边形面积最大值之后，在反演到椭圆内接四边形面积的最大值.

（4）合理选择运算方法，培养数学运算素养

数学运算素养包括理解运算对象、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等等.对于我们要本节课要解决的问题而言，合理选择运算方法最为重要.选对了运算方法，就可以简化运算，缩短解题的长度，提高解题的效率. 比如，对于课堂前测中的第（2）题为例，若选择为变量，建立的数学模型中为

d2cos2sin5522sin55522，运算简单清晰，但若选择x0,y0为5变量，计算难度就会大大增加.再如，课堂前测中的第（3）题，学生若选择以常规的斜率k为变量，就仍需要大量的计算才能得到结果.本节课就是在零诊之前，通过对椭圆内接特殊四边形面积最值的三种解决策略的回顾，学生初步建立理解运算对象、选择运算方法的的能力，提高数学运算素养.

3

（5）完成例题后，通过及时的反思提升和应用反馈，培养数学建模素养. 引导发现.把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，遵循“教师为主导，学生为主体，质疑为主线”的教学思路进行指导，通过对典型例题的研讨及思考问题的设置，激发学习的积极性和创造性.反思提升就是促进学生对此类问题的深入理解，更促进学生数学建模素养的形成.同时，通过对问题的再变式引领学生学会类比思考，触类旁通，学会学习，让学生感受到“跳一跳就可摘到桃子”的欣悦，激发学生学习数学的热情，进而掌握最值问题的方法与策略，内化数学思想方法和解决问题的基本途径.逐步提升学生的数学建模素养.

【技术分析】

教学媒体

黑板

平板电脑

GeoGebra软件

思维导图

二、教学实施设计

教学环节

（时间）

学生活动

教师活动

第1小题的目的在于让学生初步发现圆锥曲线上的动点蕴藏着丰富的函数问题、最值问题.比如几何直观的严谨性，二元问题化成一元问题解决. 第2小题改编自课本人教A版《选修2-1》2.2.2椭圆的简单几何性质例7，该题目的在于让学生初步发现圆锥曲线上的最值问题可以利用几何性质作为具体突破点，并且再次明确函数关系. 第3小题改编自2014年全国1理科第20题.该题目的在于让学生认知道圆锥曲线的标准方程不仅是曲线上点的横、纵坐标之间变换的“载体”，而且也是关于变量x， y的等量关系的“模型”.可以通过5

种不同视角对该题一题多解. 4

设计意图

指导自学.前测问题结构清楚，入口简单，计算简明.在方法上帮助学生回忆代数分析和几何分析这2种基本策略，及通过选择不同变量解决最值问题的基本方法.让学生先做，一方面是了解学生的学***，诊断学生在学习中存在的问题；另一方面，通过学生的做，对此类问题及其解决有切身的感受与体验. 由于学生的能力有差异，课堂前测可以为学生提供自主发展的时间和空间，同时也提醒学生解题不是最终目的，重要的是学会解题后的反思，从而为后面总结出解决圆锥曲线中最值问题的基本策略以及具体明确的操作步骤做出铺垫.有利于提升学生直观想象、逻辑推理核心素养.

功能

板书教学流程、重要要点以及用于学生演板

展示教学环节，展示动画、图片，让学生感受更加直观

动态演示，体验变量间的关联

思维可视化

1.

已知P是椭圆x2y21上的一个动43点，定点Q的坐标为0,，求PQ的最大2值. 2.

（改编自人教A版2.2.1椭圆的简单几何性质例7）

已知椭圆的方程为课堂前测

xy21，直线42l:x2y50.椭圆上是否存在一点P，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

3.

（改编自2014年全国1，理20）

已知点P0,1，椭圆E:xy21，42设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，求OPQ的面积的最大值

例题

（改编自2008年全国高考题）椭圆从简单的问题出发，通过

问题的变式等措施，以使学生对圆锥曲线最值问题的本质特征有更新、更深的动态认识，同时也激发学生学习的积极性和钻研的主动性.

根据刚刚完成的前测问度，引领学生跳出题海，在其思维水平的“最近发展区”的平台递进式地进行探索.

x2y214提出问题

问题的提出、问题的拓展、题力求从学生认识规律的角的上定点和右顶点分别是A,B，过原点且斜率为正值直线l与椭圆相交于点E,F，求四边形值

. 活动一：学生自主探究

预设1：根据前测数据统计，应该有一半左右的同学可能还是会设直线EF的斜率为k. AEBF面积S的最大SSBEFSAEF214k4k21

问题探究.

以有效的数学活动为支撑，以恰当的问题情境为依托.创设出能使学生跃跃欲试、寻根问底的情境，把抽象的知识具体化，让学生在探索活动中进行主动建构，主动思考. 所以特选择了一道典型的高考试题作为例题，从前测问题中不停的加以引伸、拓巡视、释疑、评价：

引导学生思考解析几何中有哪些方法描述运动变化，养成用不同视角看问题的习惯.即引导学生：能够换个角度观察，软件中哪些几何元素在变化？让学生尝试从多角度解决问题.

宽、变化，引导学生从形式的“变”发现本质的“不变”，从本质的“不变”探索形式的“变”的规律，旁通知识的横向联系，揭示其内在的联系与规律，从中体验数学思想、数学方法.注意知识结构的重组与概括，精学一题（一题多变）、妙解一类（一题多解），进而形成一个有序化、条理化、网络化的高效的有机认知结构，促使学生有层次地、递进地理解数学本质，有利于提升学生直观感知、数学抽象、逻辑推理核心素养.

预设2：根据3道课堂前测关于几何直观的引入，应该会有同学使用直观感知

得到面积最值

S四边形AEBF=2SAOBSABE2ABdE25dE其中dE为点E到直线

AB的距离，当椭圆在AB时，dE取最大值E处的切线平行直线解决问题

2225

预设3：以离心角的坐标为变量的函数关系式建立

1SABdFABdEAB2

22sin224

活动二：小组讨论

预设1：交流讨论后，找到面积的其它表达方式

S四边形AEBFSAEFSBEFx12y1预设2：

预设3：在圆锥曲线的讲授中，曾经提到过伸5

S四边形AEBF2sincos22

缩变化在处理题目中的运算优势.

S

四边形AEBFmaxabS四边形AEBFmax

活动三：成果展示

引导发现.把发现创造的基于学生的活动体验共同反思：

1、解决最值问题的策略

2、方法：解析法

3、思想：数形结合、函数与方程

反思提升

机会还给学生，把成功的体验让给学生，遵循“教师为主导，

学生为主体，核心问题为主线”的教学思路进行指导，通过对例题的学习及反思，引发学生的生成. 高中学***面解析几何的主要任务是用解析法研究平面上几何对象(直线、圆、椭圆、双曲线等)的性质，通过代数语言与几何语言之间的相互转换，实现代数问题与几何问题之间的有效转化，能够用运动、变化和对立统一的观点去分析、解决几何问题.反思提升就是促进学生对此类问题的深入理解，更促进学生数学建模素养的形成.在学生积极思考的同时对学生的思维进行调控，优化思维过程，逐步

提升学生的数学建模核心素养.

运用本节课体验完成反馈练习. 练习1：过点M运用反馈

交于两个不同点，若MPMQ，求实数的取值范围. 练习2：给定直线适当训练.把总结出的思想方法和策略内化为问题启3,0的直线与椭圆xy2142动的自动化行为习惯，需要经出示运用反馈练习，适时给予提示与评价. 过适当的训练使操作程序“缩短”，形成可以嵌入新情境的“子程序”，并通过相互联系，形成数学思想方法和策略系统. 通过对问题的再变式引领学生学会类比思考，触类旁l:x2y60与椭圆6

x2y21，请写出你自己设计的一个最值问题，4并选择相应的策略加以解决.

通，学会学习，让学生感受到“跳一跳就可摘到桃子”的欣悦，激发学生学习数学的热情，进而掌握最值问题的方法与策略，内化数学思想方法和解决问题的基本途径.逐步提升学生的逻辑推理、直观想象、数学运算素养.

【板书设计】

【流程图】

微专题：椭圆特殊内接四边形的面积最值问题

一、

提出问题

二、

解决问题

三、反思提升

1、解决最值问题的一般性步骤

2、方法：解析法

3、思想：数形结合、函数与方程

四、运用反馈

学生板书解答过程及师生共同订正副板书

（步骤）

7

附录1：2013-2017五年理科关于椭圆内接多边形面积最值的高考题

x2y21.(2013全国卷2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:221(ab0)右焦点的直线ab1xy30交M于A,B两点，P为A,B的中点，且OP的斜率为. 2（Ι）求M的方程；

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形面积的最值. 2.（2013浙江理21）如图，点P(0,1)是椭圆x2y2C1:221(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆abyC2:x2y24的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D

（1）求椭圆C1的方程；

DBOP (0, -1)Al1x（2）求ABD面积取最大值时直线l1的方程.

l23.（2013湖北理21）如图，已知椭圆C1与C2

的中心坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（mn），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.

m记，

△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．

n(1) 当直线l与(2) 当

yABM

D

第21题图

y轴重合时，若S1S2，求的值；

变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得OCN

x

S1S2？并说明理由．

x2y234. (2014全国1卷20）已知点A(0,2),椭圆E:221(ab0)的离心率为；Fab2是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为（Ι）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E

相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的直线方程. 8

23，O为坐标原点

3

5.（2014 山东理

21）（本小题满分14分）

已知抛物线C:y22pxp＞0的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FAFD，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形. （1）求C的方程；

（2）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E，（i）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ii）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. x2y26.（2014 湖南理

21）如图所示，O为坐标原点，椭圆C1:221ab0的左右abx2y2焦点分别为F1,F2，离心率为e1；双曲线C2:221的左右焦点分别为F3,F4，离心ab3率为e2,已知e1e2，且F2F431. 2

（1）求C1,C2的方程；

（2）过F1点作C1的不垂直于y

P

F3A

MF1O

F2y轴的弦AB，M为AB的中点，B

Q

F4x当直线OM与C2交于P,Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值. 7.（2015湖北理21）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1:x2y0和l2:x2y0分别交于P,Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

9

NADOBN

D

y

O

x

MM

8.（2016全国1卷理20）设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （1）证明EAEB为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. x2y29.（2016山东理21）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221

(ab0)的离心率ab是3，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点. 2yFAOl（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上; PMxGDB（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求大值及取得最大值时点P的坐标.

S1的最S222xy10.

（2017山东理21）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:221ab0的离心率为ab2，焦距为2. 2（1）求椭圆E的方程；（2）如图所示，动直线l：yk1x圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2MC:AB2:3，3交椭圆E于A,B两点，C是椭22，M是线段OC延长线上一点，且4M的半径为MC，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S,T,求ySMCOBATxSOT的最大值，并求取得最大值时，直线l的斜率.

10

微专题：椭圆特殊内接四边形面积的最值问题

姓名：

一、课堂前测

x23y21上的一个动点，定点Q的坐标为0,，则PQ的最大值1.

已知P是椭圆42是

. 答

题

区

域

x2y21，直线l:x2y50.椭圆上是否存在一点P，使它2.

已知椭圆的方程为4到直线l的距离最小，最小距离是多少

. 答

题

区

域

x2y21，设过点P的直线l与E相交于P,Q两点，求3.

已知点P0,1，椭圆E:4OPQ的面积的最大值

. 答

题

区

域

二、课堂

（1）提出问题：

x2y21的上定点和右顶点分别是A,B，过原例题

（改编自2008年全国高考题）椭圆4点且斜率为正值的直线l与椭圆相交于点E,F，求四边形AEBF面积S的最大值

.

11

（2）解决问题

答

题

区

域

（3）反思提升：

（4）应用反馈：

x2y21交于两个不同点，若MPMQ，求实数练习1：过点M3,0的直线与椭圆4的取值范围. 答

题

区

域

x2y21，练习2：给定直线l:x2y60与椭圆请写出你自己设计的一个最值问题，4并选择相应的策略加以解决.

答

题

区

域

12