习题1.2特级教师教学实录

第二节

函数的单调性与最值

[考纲传真]

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．

1．增函数、减函数

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任定

意两个自变量的值x1，x2

义

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

图

象

描

述

自左向右看图象是上升的

[常用结论]

函数单调性的常用结论

fx1－fx2fx1－fx2(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，x1－x2x1－x2＜0⇔f(x)在D上是减函数．

a(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间x为[－a，0)和(0，a]．

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

[基础自测]

自左向右看图象是下降的

就说函数f(x)在区间D上是减函数

1

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．

(

) 1(2)函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(

) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．

(

) (4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)．

(

) [答案]

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是(

)

A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数

B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2 C

[由图象知，函数f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.] 3．(教材改编)已知函数f(x)＝最小值为________．

222

5

[可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，x－12f(x)min＝f(6)＝5.] 4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

11－∞，－2

[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.] 25．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________. 2 2，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，x－1

[1,3]

8

[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.] 确定函数的单调性(区间)

【例1】

(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

) A．(－∞，－2)

C．(1，＋∞)

B．(－∞，1) D．(4，＋∞) D

[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝ln t在t∈(0，＋∞)上为增函数．

欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．

故选D.] k(2)试讨论函数f(x)＝x＋x(k＞0)的单调性．

[解]

法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，kk＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝x2＋x－x1＋x＝(x2－x1)21x1x2－k11＋kx－x＝(x2－x1)·xx.

2112因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.

故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，

即函数在(k，＋∞)上单调递增．

当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)，

即函数在(0，k)上单调递减．

k考虑到函数f(x)＝x＋x(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．

3

综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．

k法二：f′(x)＝1－x2.

令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)．

令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k)．

故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．

[规律方法]

1.确定函数单调性的4种方法

(1)定义法．利用定义判断．

(2)导数法．适用于可以求导的函数．

(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)复合函数法．对于函数y＝f(g(x))，先确定y＝f(v)，v＝g(x)的单调性，再利用“同增异减”的原则确定y＝f(g(x))的单调性．

易错警示：确定函数的单调性(区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区间)．

2．熟记函数单调性的4个常用结论

(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；

(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1的单调性相反；

fx(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝fx的单调性相同．

(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为(

) A．(－∞，1]

B．[3，＋∞) 4

C．(－∞，－1]

1(2)(2019·郑州模拟)函数y＝3A．(1，＋∞)

1C.2，＋∞

D．[1，＋∞) 2x2－3x＋1的单调递增区间为(

) 3B.－∞，4

3D.4，＋∞

(1)B

(2)B

[(1)设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，

所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．

所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

321(2)令t＝2x－3x＋1，则t＝2x－4－8.

211又函数y＝3是减函数，因此函数y＝33－∞，.故选B.] 4(3)试讨论函数f(x)＝t2x2－3x＋1的单调递增区间为ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

x－1[解]

法一：设－1＜x1＜x2＜1，

1x－1＋1＝a1＋x－1，

f(x)＝ax－1111＋1＋f(x1)－f(x2)＝a－a

x1－1x2－1＝ax2－x1，

x1－1x2－1由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，

即f(x1)＞f(x2)，

5

函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上递增．

ax－1－ax－a法二：f′(x)＝＝，

x－12x－12所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，

即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，

当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．

利用函数的单调性求最值(值域)

x11．函数f(x)＝3－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

13

[函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，则f(x)max＝f(－1)＝3－1－log21＝3.] 2．函数f(x)＝3x－1，x∈[－5，－3]的值域为________．

x＋23x－13x＋2－77163，10

[f(x)＝＝＝3－，

x＋2x＋2x＋2则函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数．

所以f(x)max＝f(－3)＝3－f(x)min＝f(－5)＝3－7＝10，

－3＋2716＝3.

－5＋216因此函数f(x)的值域为3，10.] 1，x≥1，3．函数f(x)＝x－x2＋2，x＜1

的最大值为________．

12

[当x≥1时，函数f(x)＝x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.

故函数f(x)的最大值为2.] 6

[规律方法]

求函数值域的几个常见类型

1若所给函数能够判断单调性，可直接利用单调性求解.

2形如求函数形式，再用单调性求解.

3分段函数的最值，先求每一个子区间上的最值，则各个区间上最大值中的最大者为分段函数的最大值，各个区间上最小值中的最小值作为分段函数的最小值.

4求复合函数y＝fgx的值域，可先求gx的值域，再求y＝fgx的值域.,特别地：若函数解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等或函数图象易作出，可用数形结合法求解.

函数单调性的应用

►考法1

比较函数值的大小

【例2】

已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，1当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f－2，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(

) A．c＞a＞b

C．a＞c＞b

B．c＞b＞a

D．b＞a＞c

的值域或最值，可先将函数解析式变为的15D

[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－2＝f2.由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

55因为1＜2＜2＜3，所以f(2)＞f2＞f(3)，所以b＞a＞c.] ►考法2

解函数不等式

【例3】

(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)＞0的a的取值范围是(

) A．(0,2)

C．(1,2)

B．(1，2) D．(0，2) B

[由题意知f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sin x＝－(x3＋sin x)＝－f(x)，7

x∈(－1,1)，

∴f(x)在区间(－1,1)上是奇函数．

又f′(x)＝3x2＋cos x＞0，

∴f(x)在区间(－1,1)上单调递增，

∵f(a2－1)＋f(a－1)＞0，

∴－f(a－1)＜f(a2－1)，

∴f(1－a)＜f(a2－1)，

a＜1，－1＜1－2∴－1＜a－1＜1，1－a＜a2－1，

解得1＜a＜2，故选B.] ►考法3

求参数的值或取值范围

【例4】

(1)若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(

) 1A.－4，＋∞

1C.－4，0

1B.－4，＋∞

1D.－4，0

a－2x－1，x≤1，(2)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，logx，x＞1，a则实数a的取值范围为________．

(1)D

(2)(2,3]

[(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

1当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－a，

因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，

11所以a＜0，且－a≥4，解得－4≤a＜0.

1综上所述，实数a的取值范围是－4，0.

(2)要使函数f(x)在R上单调递增，

8

a＞1，则有a－2＞0，f1≤0，

a＞1，即a＞2，a－2－1≤0，

解得2＜a≤3，

即实数a的取值范围是(2,3]．] [规律方法]

函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略

1比较大小.

2解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.

3利用单调性求参数.

①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

(1)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝实数a的取值范围是(

) A．(－1,0)∪(0,1)

C．(0,1)

B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1] a在区间[1,2]上都是减函数，则x＋13x，x≤0，(2)已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范lnx＋1，x＞0，

围是(

) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

C．(－1,2)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2,1) (3)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都1有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0.设a＝lnπ，b＝(ln π)2，c＝lnπ，则(

) A．f(a)＞f(b)＞f(c)

C．f(c)＞f(a)＞f(b)

B．f(b)＞f(a)＞f(c) D．f(c)＞f(b)＞f(a) 9

xa，x＜0，fx1－fx2(4)已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜x1－x2a－3x＋4a，x≥0

0成立，则实数a的取值范围是(

) 1A.0，4

C．(1,3)

B．(1,2] 1D.2，1

(1)D

(2)D

(3)C

(4)A

[(1)因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝a在[1,2]上是减函数，所以a＞0，所以0＜a≤1.

x＋1(2)因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，

所以函数的图象是一条连续的曲线．

因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，

当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，

所以函数f(x)是定义在R上的增函数．

因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，

即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.

(3)由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)11＝f(|c|)，又|a|＝ln π＞1，|b|＝(ln π)2＞|a|，|c|＝2ln π，且0＜2ln π＜|a|，故|b|＞|a|＞|c|＞0，∴f(|c|)＞f(|a|)＞f(|b|)，即f(c)＞f(a)＞f(b)．

0＜a＜1，(4)由题意知，函数f(x)在R上是减函数，则a－3＜0，a0≥4a，故选A.]

1解得0＜a≤4，

1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(

) A．y＝x

C．y＝2x

B．y＝lg x

D．y＝1

x10

D

[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．

函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．

函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．

函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．

1函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.] x2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－的x的取值范围是(

) 1A.3，1

1B.－∞，3∪(1，＋∞) 11C.－3，3

11D.－∞，－3∪3，＋∞

A

[法一：分析f(x)的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化．

1∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，

1＋－x2∴函数f(x)为偶函数．

∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－1，

1＋x21也递增，

1＋x21，则使得f(x)>f(2x－1)成立1＋x2在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x1＋1<0⇔3

法二：(特殊值排除法)

令x＝0，此时f(x)＝f(0)＝－1<0，f(2x－1)

1＝f(－1)＝ln 2－2＝ln 2－ln e>0，

∴x＝0不满足f(x)>f(2x－1)，故C错误．

11

11令x＝2，此时f(x)＝f(2)＝ln 3－5，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－10.∵f(2)－f(3)＝ln 31－ln 4－10，

1其中ln 3

即f(2)f(2x－1)，

故B，D错误．故选A.] 12