信息技术应用 收集数据并建立函数模型第二课时教学设计

关注数学素养

培养关键能力

《几类不同增长的函数模型》（1）教学设计

一、教学内容分析

本节课是人教版教材必修一第三章《函数的应用》第二节第一课时，在这之前教材已经介绍了函数的概念、表示法、性质以及指数函数、对数函数和幂函数的相关知识。那么本节内容就是从生活实例出发，让学生感知函数模型的建立过程，通过计算和作图，从数和形的角度体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。教育部2017版普通高中数学课程标准明确提出学科核心素养是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学抽象、数学建模、数据分析等学科素养都会在课堂中渗透，通过动手实践、直观感知，让学生逐步感受到不同函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点和差异，进一步认识到数学是有用的，数学是来源于生活的，从而增强创新意识和科学精神。

二、学情分析

学生在学习本节之前，已经对指数函数、对数函数等知识有了一定的了解，这节课将更进一步让学生感受他们的增长差异，但学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础，所以本课先让学生利用表格计算出增加量，通过数据对指数爆炸有了一种感性认识，再结合图像分析，从感性认识上升到理性认识。本课授课对象为高一年级学生，对数学建模的过程方法还比较模糊；他们大多具备了一定的认知、分析、归纳能力，并能够进行小组分工合作，讨论交流，但还缺乏一些深入研

究问题的方法，比如在案例二公司奖励模型问题的解决过程中，怎么判断log7x10.25x？我先是用了图像法，直观感受图像的高低，从而比较大小，然后再介绍“构造函数法”，循序渐进。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：引导学生体会将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过动手计算与作图，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数等函数模型增长快慢的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的具体含义。

教学难点确定为：怎样选择数学模型分析解决实际问题

三、教学目标

课程标准中对本节课的要求如下：1、通过计算，对比指数函数、对数函数的增长差异；2、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义。故本节课的教学目标确定如下：

知识与技能：借助信息技术，利用数据表格及函数图像，比较一次函数、指数函数、对数函数的增长差异。

过程与方法：通过动手计算画图，小组合作的形式，利用表格图像结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。

情感态度与价值观：体验指数函数对数函数幂函数等函数与现实世界的密切联系以及在刻画现实问题中的作用，感受数学建模的过程方法，认识到数学的科学价值、应用价值。

学科核心素养是数学课程目标的集中体现，通过教学目标的引领，逐步提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算和直观想象的学科素养。

四、教法分析

建构主义理论告诉我们：课堂要以以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构，而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑中传送到学生的笔记本上。“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。所以本节课主要采取的学习方式是动手实践，小组合作，讨论交流。给出现实生活中的情境，即投资回报案例，如果学生不假思索的话很可能会选择方案二或方案一，然后以问题为导向，从不同的角度，逐步的使学生实现主动的意义建构，实现知识结构的再平衡。

五、教学过程

（一）创设情境

引入课题

师：同学们，前面我们学过函数的单调性，知道单调性是用来刻画函数的增减情况的。那么我们学过的函数里面有没有增长型函数呢？

生：一次函数、底大于1的指数函数、对数函数。

师：它们的增长趋势（快慢）一样么？

生：有说不一样的，有说不能确定的

师：那么今天我们就一起来感受一下“几类不同增长的函数模型”

板书课题。

设计意图：从学过的知识出发，着眼于学生的最近发展区，调动学生研究问题的积极性。

（二）组织引导

合作探究

师：生活中就有很多跟“增长”有关的现象。比如说我买的股票最近

又涨了，武汉市地铁里程每年都在大幅度增长，我国的GDP连续三十年都在快速增长，人们的生活越来越富裕了，现在假设你有一笔闲置资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每一天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？

设计意图：从现实生活出发，渗透国家民族自豪感；建构主义认为，学习者并不是空着脑袋进入学习情境中的，根据经验学生可能肤浅的认为方案二或方案一回报高，借机帮助学生建构当前所学知识的意义。以此形成学生对本节课内容的第一次知识建构。

问题探究：

问题【1】在本案例中涉及到哪些数量关系？

问题【2】你能用函数来描述这些数量关系吗？

问题【3】函数还有哪些表示方法？

问题【4】完成学案中表格的“数据二”，即算出每天回报增加量，从数据看，你对三种方案的增长差异有什么认识？请逐个描述。（小组合作，讨论交流）

设计意图：学生还缺乏解决实际问题的经验与能力，教师通过提出适当的问题以引起学生的思考和讨论；引导学生从实际问题中抽象出数学问题，帮助学生找到解决问题的突破点，理清思路。通过表格引导学生关注增加量，感受增长差异，尤其是对“指数爆炸”的理解。以此形成学生对本节课内容的第二次知识建构。

师：刚才这几位同学都说得很好。从数据看，虽然第一天回报量方案一是方案二的四倍，方案三的100倍，方案二是方案三的25倍，但是从增加量来看，方案一零增长，方案二每天的增加量相同，每天所得稳步增加，方案三从第七天开始回报量增加得越来越快，这种速度是方案一、二所无法比拟的，仅仅到第30天，所得回报量就达两亿多！可以用一个词形容“爆炸式增长”！

问题【5】请在学案上用描点作图法画出这三个函数的图像，从图像的角度，描述一下增长的越来越快是什么意思？（提醒学生注意函数定义域）（小组讨论）

生1：可以用曲线倾斜程度（越来越陡峭）越来越大来描述增长的越来越快

生2：可以用纵向增加量的比值与横向增加量的比值，当横向增加量相同时，纵向增加量越大，表明增加的越快。

师：很好。下面我们用几何画板来感受一下这种快！

对于一次函数的这种增长，我们也用一个词形容“直线上升”

设计意图：数缺形来少直观。看图既直观又形象，通过几何画板让学生感知函数增长的快慢，也让学生初步体会数学中如何描述增长

速度的快和慢。从数和形两个方面，通过小组讨论交流，以此形成学生对本节课内容的第三次知识建构。

问题【6】如果回报的天数是有限的，请从累计回报的角度做出最终决策？给出累计回报表。

生：投资1-6天，选择方案一；投资7天，选择方案一或方案二；投资8-10天，选择方案二；投资11天及以上，选择方案三。

问题【7】建立数学模型，解决实际问题的过程是什么？

生：审题并找出问题中的数量关系→选择函数模型→求解函数模型（数学问题）→用数学结论解释实际问题

设计意图：这个案例展示了数学建模的基本过程，带给学生一个比较完整的利用数学知识解决实际问题的过程体验。

案例二、某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的方案

：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励且奖金（单位：

万元）随销售利润

（单位：

万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y0.25x求？

问题【1】能否用数学符号语言将公司的要求一一表示出来？

x10,1000y50.25④增函数

设计意图：解决实际问题的第一步就是审题并提炼数量关系，进一步培养学生解决实际问题的能力。

问题【2】如何验证y5？

yxylog7x1y1.002x其中哪个模型能符合公司的要

生1：可以求值域。它们都是增函数，当x1000时，00也大于5，故只有中间一个符合

0.2510002505,1.0012生2：可以画图像

请同学们在学案上自己动手画出这三个函数的图像。

设计意图：引导学生从数和形两方面解决数学问题。

问题【3】通过观察图像，你能描述一下它们的增长特征么？并用一个词语形容。

问题【4】如何验证log7x10.25x？

生1：观察图像，通过图像的高低来比较两个函数在区间里的大小

生2（师引导）：还可以通过作差构造一个新函数，

设计意图：回归到函数模型的增长特征上去，突出数形结合的思想和构造函数的思想。以此形成学生对本节课内容的第四次知识建构。

六、总结归纳

一种方法：数学建模的方法

两种思想：数形结合思想、构造函数的思想

三种函数的增长差异：一次函数直线上升、指数函数爆炸增长、对数函数缓慢增长

七、课外活动

请自行百度搜索“澳大利亚的兔子”，并自学生物书中关于种群增长的特点，想想：种群增长曲线与指数函数对数函数图像有什么联系？

八、布置作业