小结名师课堂实录

函数与方程复习课教学设计

利川一中

何云霞

教学内容：函数零点的存在判定与个数判断，函数零点与方程根的联系，用二分法求函数零点。

考情考向分析：利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断，利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围或者根据零点存在原理和函数的单调性分析零点的个数，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度。本节内容近6年的全国卷高考题都有考察到，少则5分，多则12分，是不可忽视的重要内容。

教学目标：1.知识技能

掌握函数零点的概念，能判断零点的存在性，能分析零点的个数，利用二分法处理函数零点的相关问题，理解函数零点与方程的根之间的联系并解决相关问题。

2.思想方法

利用数形结合思想解决有关零点问题，体会转化化归思想在本节内容中的应用，体会二分法中的逼近思想和近似思想以及算法思想。

3.情感态度

让学生体会数形结合、转化化归、函数与方程等数学思想，认识到这些数学思想在解决数学问题时的意义和价值，引导学生多方面思考问题分析问题解决问题，培养学生严密思考的学习习惯。

教学重点：函数零点的存在性与个数判断，函数零点与方程的根之间的联系

教学难点：根据函数零点与方程的根之间的联系求解有关参数问题，并体会到转化思想、数形结合思想在数学中的应用，二分法的逼近思想和算法思想的体会。

教学过程：

1.导入：前面我们已经复习过函数的图象，知道函数图象的画法和重要性，那么这节课我们来复习函数与方程，也就是函数图象的一种实际应用。

2.带领学生复习有关函数零点的基本概念和判定原理，以及二分法求函数零点的近似值的基本方法，并通过几个小问题巩固上述知识点。

提问：函数的零点的定义是什么？如何判定函数零点的存在？

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

) (2)若函数f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

) （4）函数f(x)的图象连续不断，那么函数f(x)只有一个零点.（ ）

（5）函数f(x)＝|x|与g(x)＝lnx都可以用二分法求出零点的近似解.( )

3.提出问题，学生独立解决，回答教师提出的问题，教师归纳补充。

练习1.设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为

A.(0,1)

B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4) 提问：大家是用什么方法求出结果的？有哪些方法？

结论：判断函数零点所在区间的常见方法

（1）零点存在原理. （2）数形结合，借助图象观察。

改编练习1，提问：上题中零点个数有几个？如何判断的？

1练习2.已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值x(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为 (

) A．3

B．4

C．5

D．6 总结：用二分法求函数零点近似值的一般步骤与注意事项：

步骤（1）定区间（2）找中点（3）新区间（4）判断，结束或返回（2）

给出练习3和练习4，学生独立完成并小组讨论，总结出判断零点个数的方法。

2x－2，x≤0，练习3.函数f(x)＝的零点个数是

．

2x－6＋ln x，x>0

练习4.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 学生回答，总结方法：函数零点个数的判断方法

(1)基本初等函数可直接求出零点或判断零点个数. (2)部分函数可以根据零点存在性定理和函数单调性确定零点个数. (3)部分函数可转化为f(x)=g(x)形式，再利用函数图象的交点个数判断. 4.提出问题并改编问题，引导学生探索如何利用函数零点求参数。

问题1.若函数f(x)＝x2－ax＋1有两个零点，则实数a的取值范围是

．

. x－1，x<1，问题2：已知函数f(x)＝logx，x≥1，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，12则实数k的取值范围是

．

改编1：将上题“关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根”改为“方程f(x)＝k有两个不同的实根”，则实数k的取值为

．

改编2：将上题“关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根”改为“方程f(x)＝k有根”，则实数k的取值范围是

．

改编3：将上题“关于x的方程f(x)＝k有根”改为“方程f(x) = k有实根x0∈(-2 , -1)”，2

则实数k的取值范围是

．

学生总结根据函数零点的情况求参数的方法，教师补充完整。

根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成关于参数的方程或者不等式，通过求函数值域加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 归纳思想方法：在求与函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：

(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围. (2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决. 5.巩固练习，拓展延伸。

学生完成练习：

（1）.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1).当2

xe，x≤0，（2）已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围ln x，x>0，

是(

) A．[－1,0)

C．[－1，＋∞)

B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) （3）若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为

．

6.课堂小结，作业布置。

本节课我们复习了有关函数零点与方程的知识，重点探究了如何转化求解参数问题，大家课下完成本节的评测练习。

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