小结PPT及课堂实录内容

成都七中嘉祥外国语学校

高中数学组

领悟数学天地，超越平凡课堂

一元二次方程根的分布问题教案

高一数学组

卢飞

一．

教材分析：

二次函数是重要的初等函数类型，一元二次方程是初中阶段学习的一个重要内容，含参的一元二次方程根的分布实际上是综合应用一元二次方程根与系数的关系、二次函数的基本性质、分类讨论思想、数形结合思想等思想方法来解决的一类专题性内容，是基于人教A版高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。虽然教材并没有单独成节，但教材中却处处渗透着这一内容。一元二次方程根的分布问题是二次函数性质的集中体现，是对函数的基本思想方法的巩固和提升，是难得的好素材，是专题教学或研究性学习的好材料。

二．

教学目标：

1、

知识与能力目标：

加深对一元二次方程根的认识，能从方程和函数的观点去解决关于根的分布问题，培养学生解决问题的能力，和提升学生学习数学的热情。

2、

过程与方法目标

通过师生交流合作，探讨归纳出根的分布规律，及对应的不同解决策略，获得一元二次方程实根的分布与系数的关系的条件限制（不等式（组））；比较韦达定理法与函数图象法的优劣，并及时运用解决新问题。

3、

情感态度与价值观目标

体会二次函数乃至函数图象解题的优越性；积极参与数学学习活动，体验数学学习充满着的探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，建立自信。

三．教学重点与难点

1、重点：用函数图象法解决一元二次方程根的分布问题，及规律总结。

2、难点：规律总结及运用。

四．教法、学法设计

1、通过已学知识回顾，解决习题问题，进而引入本节主题；

2、采用多媒体演示，提高效率；采用学案，充分发挥学生的自主学习能力；

3、开展积极的合作、交流，体现合作学习与研究性学习。

五．教学过程设计

【一】已学知识回顾

回顾一：

一元二次方程axbxc0(a0)有两个实根x1、x2，则系数a,b,c满足哪些关系？

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2

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解答：①b4ac0；②x1x2；③x1x2回顾二：

2bac

a方程ax2bxc0(a0)有两正根x1、x2，则系数a,b,c满足哪些关系？

解答：①b4ac0；②x1x2回顾三：

方程ax2bxc0(a0)有一正一负两实根x1、x2，则系数a,b,c满足哪些关系？

解答：①b4ac0；x1x222bc0；③x1x20

aac0

a

设计意图：通过已学知识入手，创设情境，引入主题。

【二】问题引出

已知集合A{x|x24mx2m60}，集合B{x|x0}，若A，且AB，

求实数

的取值范围。

问题解释：本问题可转化为关于方程根的部分问题吗？如何转化呢？

分析：讨论关于

的方程x4mx2m60，若有两个负根时，求实数

的取值范围.

设计意图：从问题出发，进入本节课的主题，激发学生解决问题的热情。

【三】解题方法研究及结论总结

原问题：讨论关于

的方程x4mx2m60，若有两个负根时，求实数

的取值范围.

；

问题分析：韦达定理法：

函数图象法：

.

变式一：关于

的方程x4mx2m60，若两根大于2时，求实数

的取值范围.

问题分析：韦达定理法：

；

函数图象法：

.

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222

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变式二：关于

的方程x4mx2m60，若两根都在区间(1,4)时，求实数

的范围.

. 问题分析：函数图象法：

思考1：在原问题、变式一、变式二中，根的分布有何共同点？

分析：这三个问题中，根分布在同一区间内. 思考2：这类问题可用哪些方法解决？

分析：这类问题可用函数韦达定理法、函数图象法解决. 思考3：这类问题函数图象法解决时需要考虑哪些控制条件？

分析：这类问题需要考虑：判别式；对称轴；端点函数值.

设计意图：从原问题出发，经过变式启发，师生共同交流合作，解决根分布的第一类问题。

变式三：关于

的方程x4mx2m60，若有一正一负两根时，求实数

的取值范围.

；

问题分析：韦达定理法：

函数图象法：

.

变式四：关于

的方程x4mx2m60，若两实根中，一根大于3，一根小于1时,求实数

的取值范围.

问题分析：函数图象法：

思考4：变式三、变式四中，根的分布有何共同点？

分析：这两个问题中，根分布在不同区间内. 思考5：这类问题函数图象法解决时需要考虑哪些控制条件？

分析：这类问题只需考虑端点函数值。

设计意图：从原问题出发，经过变式启发，师生共同交流合作，解决根分布的第二类问题。

【四】提高练习

已知集合A{x|x4mx2m60}，集合B{x|x0}，若A求实数

的取值范围。

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2222B，

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答案：

设计意图：从原问题再次变式，学生合作交流，加深对本节知识的深化。

【五】根据以上研究，归纳总结

用函数图象解决方程ax2bxc0(a0)根分布的步骤

分析：①

确定根是否在同一区间；

②

数形结合找限制条件; ③

列不等式（组），求范围.

设计意图：小组合作交流探讨，共同对本节知识进行总结归纳。

【六】课后作业

方程mx2(m1)x10在区间(0,1)内有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 答案：

设计意图：学以致用，既是对本节知识的掌握，也是对知识的升华。

六．板书设计：

电子白板屏幕

主板书【一直保留】

一元二次方程根的分布问题

（一）原问题、变式一、变式二

共同点：

函数图象法：

（二）变式三、变式四

共同点：

函数图象法：

七．教学反思

辅板书：例题等

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