习题1.2第二课时教学实录

《1.3.1函数的单调性》教学设计

一、教学目标

知识与技能：[来源:学科网ZXXK]

1．理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念. 2．掌握增(减)函数的证明和判断，学会运用函数图像理解和研究函数的性质，能利用函数图像划分函数的单调区间．

过程与方法：

通过观察一些函数的图像的升降，形成增（减）函数的直观认识，再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增减函数的定义。

情感态度与价值观：

函数的单调性的研究经历了从直观到抽像，从图形语言到数学语言，理解增函数，减函数，单调区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，是学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

二、教学重点、难点

重点：形成增减函数的形式化定义

难点：形成增减函数概念的过程中，如何从图形升降的直观认识过渡到函数增（减）的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

三、

教学过程

（一）复习: 1．一次函数的解析式：y＝ax＋b

2、二次函数的解析式、及对称轴：yax2bxc(a0)，其中对称轴为x=b

2a（二）情境导学

某个环境下，人在生活中只做一件事就会觉得单调，函数在某个自变量的范围内变化中只做一种变化也会单调。

（三）新课讲解

探究1

：画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图像的升降情况如何？

答：根据列表法的三个步骤：列表→描点→连线得两函数的图像如下：

函数f(x)＝x的图像由左到右是上升的；函数f(x)＝x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．

探究2：

如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？

（用几何画板探究）

答：

在给定区间上任取x1，x2且x1

思考：当x增大时，f(x)的值随着增大，我们说f(x)是增函数；当x增大时，f(x)的值减小，我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈I，你能给增函数和减函数下个定义吗？

答：

增函数的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于

定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

函数的单调性定义：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或是减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

（四）例题讲解

探究3：在图形上划分单调区间

例1

：如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：

y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．

反思与感悟：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

探究点4：

增函数、减函数的证明或判断

例2：物理学中的玻意耳定律p＝ (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

证明：

根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，则p(V1)－p(V2)＝由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0. 由V10. 又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，

即p(V1)>p(V2)．

所以，函数p＝，V∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．

反思与感悟

：运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1

合作探究：函数单调性的应用

例3：

已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

解：

由题意可知11a1

12a11kvkvvvkk＝k21v1v2v1v2[来源学科网]

解得0

①[来源:Z*xx*k.Com]

又f(x)在(－1,1)上是减函数，

且f(1－a)

∴1－a>2a－1，即a< 由①②可知，0

即所求a的取值范围是0

反思与感悟

不等式f(1－a)

四、当堂检测

1．已知函数f(x)＝－x2，则( ) A．f(x)在(－∞，0)上是减函数

B．f(x)是减函数

C．f(x)是增函数

D．f(x)在(－∞，0)上是增函数

答案：

D 解析：f(x)的图像开口向下，对称轴为x＝0，所以f(x)在(－∞，0)上是增函数．

2．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( ) A．f(x)＝x2

B．f(x)＝

C．f(x)＝|x|

D．f(x)＝2x＋1 答案：B 解析：

f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．

3．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

答案：

m≤－16 1x1x232323

②

解析：由题意，得函数f(x)＝4x2－mx＋5的对称轴x＝所以m≤－16. 五、课堂小结

本节课主要学习了

m≤－2，81．增函数的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

2．减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

3．函数的单调性定义：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或是减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

六、课外作业

教材P39习题1、2、3 七、板书设计

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