小结教学实录及点评

第三章 单元小结（一）（一）教学目标1．知识与技能整合函数与方程的基础知识和基本方法，进一步巩固和提升函数与方程思想.2．过程与方法通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系3．情感、态度与价值观在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.（二）教学重点与难点重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.（三）教学方法动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.（四）教学过程教学环节

教学内容

1．函数与方程单元知识网络函数与方程

函数零二分法点的存求方程在性判的近似

定

解

师生互动

1．师生合作，绘制单元知识网络图2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理. 设计意图

方程的根与函数零点的关系

2．知识梳理①二次函数的零点与一元二次方程根的关系对于二次函数f (x) = ax2 + bx 回顾反思+ c (a≠0)，当f (x) = 0时，构建体系

就是一元二次方程ax2

+ bx + c = 0，因此，二次函数f (x) = ax2

+ bx + c

(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c

= 0的根；也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根.②函数的零点的理解（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.

(2)根据函数零点定义可知，函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f

(x) = 0是否有实根，有几个实根.③函数零点的判定判断一个函数是否有零点，首先看函数f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y = f (x)在区间（a，b）内必有零点.④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由|a

–

b|＜，便可判断零点近似值为a或b.⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；（2）求曲线y

= f (x)和y

= g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f (x) –

g (x)的零点，即求方程f (x) –

g (x) = 0的实数解.

解析

把方程的解转化为函数f(x)＝log3x＋动手＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴f(2)·f(3)＜0，试练的解所在的区间是(

)．

经典例题且函数f(x)在定义域内是增函数，∴函数f(x)提升A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

剖析

合应只有一个零点，且零点x0∈(2,3)，即方程知识D．(3，＋∞) log3x＋x＝3的解所在区间为(2,3)．故选C. 能力.

【例1】

方程log3x＋x＝3x－3对应的零点．令f(x)＝log3x＋x－3，f(2)尝习综用的

【例2】

设f(x)＝x2，x＝0，

－x，x＜0.

解

(1)画出f(x)的图象，如图(1)，

从图象可以

看出，图象与x轴没有交点，f(x)没有零点．

(1)f(x)有零点吗？

(2)设g(x)＝f(x)＋k，为了(2)从图(1)可以看出f(x)＞0. 使方程g(x)＝0有且只有对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有一个根，k应该怎样限且只

制？

(3)当k＝－1时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的

幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了．

k应该限制为－1＜k＜0. 来，如果没有，请说明理几何解释如图(2)．

由；

(3)有，x＝0，它来源于(4)你给k规定一个范围，2x－1＝0；x＝－1，它来使得方程g(x)＝0总有两源于－x－1＝0. 个根．

(4)规定k的范围是{k|k≤－1}．

备选例题

例1

求函数y = x3

– 2x2

–

x + 2的零点，并画出它的图象. 【解析】因为x3

– 2x

–

x + 2 = x2 (x

– 2) – (x

– 2) = (x

– 2) (x2

– 1) = (x

– 2) (x

– 1) (x + 1)，

所以已知函数的零点为–1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：

(,1]，[–1，1]，[1，2]，[2,). 在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：

x y …

…

–1.5 – 4.38 –1 0 –0.5 1.88 0 2 0.5 1.13 1 0 1.5 –0.63 2 0 2.5 2.63 …

…

在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.

例2 求函数f (x) = x3 + x2

– 2x

– 2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）. 【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：

端点（中点）坐标

x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 x3=(1.375+1.5)/2=1.438 计算中点的函数值

f(x0)=0.625＞0 f(x1)= –0.984＜0 f(x2)= –0.260＜0

取区间

[1，2] [1，1.5] [1.25，1.5] [1.375，1.5]

|an

–

bn| 1 0.5 0.25 0.125

由上表的计算可知，区间[1.375，1.5 ]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值. 函数f (x) = x3 + x2

– 2x

– 2的图象如图所示. 实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.