小结教学实录与评析

基本初等函数小结

一．【要点精讲】

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根。即若xna，则x称a的n次方根n1且nN)，

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na(a0)

②性质：1）(na)na；2）当n为奇数时，naa；

3）当n为偶数时，na|a|（2）．幂的有关概念

①规定：1）anaaa(nN；2）a01(a0)；

*na(a0)。

a(a0) n个

3）ap1p(pQ，4）annam(a0,m、nN* 且n1)

arsrsm②性质：1）aaarsrs；

(a0,r、sQ）2）(a)a(a0,r、s Q）；

3）(ab)ab(a0,b0,r Q）。

（注）上述性质对r、sR均适用。

（3）．对数的概念

b①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b称以a为底N的rrr对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga10；

1

3）logaa1；4）对数恒等式：alogaNN。

③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则

1）loga(MN)logaMlogaN；

2）logaMlogaMlogaN；

N3）logaMnnlogaM(nR）

④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0),

logmanlogab。

mn1）logablogba1；2）logamb2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为(0,)；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，图象向右无限接近x轴）；

3）对于相同的a(a0,且a1)，函数ya与ya③函数值的变化特征：

0a1

①x0时0y1

，

②x0时y1

，

③x0时y1

xx的图象关于y轴对称

a1

①x0时y1

，

②x0时y1

，

③x0时0y1

，

2

（2）对数函数：

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，

1）函数的定义域为(0,)；2）函数的值域为R；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；

4）对数函数ylogax与指数函数yax(a0,且a1)互为反函数

②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴）；

4）对于相同的a(a0,且a1)，函数ylogax与ylog1x的图象关于x轴对称。

a③函数值的变化特征：

0a1

a1

时y0，

①x1①x1时y0，

②x1时y0，

②x1时y0，

时y0. ③0x1③x0时0y1. （3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）

当a>0时过（0，0）

4）幂函数一定不经过第四象限

3

二．例题讲解

例1：

1-ax设f(x)=log1为奇函数，a为常数.2x-1（1）求a的值；（2）证明f(x)在区间（1,+）内单调递增；（3）若对区间［3,4］上的每一个x,不等式1f(x)>()xm恒成立，求实数m的取值范围.2解：（1）因为f(x)f(x，)所以log121ax1axlo1g21xx1x1l1og21ax

.1axx1对任意x成立，1x1ax即（1ax）(1ax)(x1)(x1)对任意x成立,所以所以a1(a1舍去).(2)由(1)可知f(x)log1令u12x12log1(1)(x1),2x1x12(x1),对任意1x1x2,有x122u(x1)u(x2)(1)(1)x11x212(x21)2(x11)2(x2x1).(x11)(x21)(x11)(x21)因为10，即u(x1)u(x2)>0.(x11)(x21)2在(1，+)上是减函数，x1又因为ylog1在(0,)上是减函数，所以u12所以f(x)在(1，+)上为增函数.

4

(3)设g(x)log12x11()x,x121又因为y()x在［3,4］上是减函数，2x11所以g(x)log1()x在［3,4］上是增函数.2x12

9

所以g(x)

ming(3).8

1x又因为f(x)>()m恒成立即g(x)m恒成立，

2

99所以m,即所求m的取值范围是(，).

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三．【思维总结】

1．nNa,aN,logaNb（其中N0,a0,a1）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力

b

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