3.2.2 函数模型的应用实例ppt配用优秀获奖教案

3.2.2 函数模型的应用实例

三十九中学 程望莲

一 教学目标

知识与技能目标：

1.能根据提供的材料建立函数模型

2.会利用建立的函数模型解决实际问题

3.在例题分析和讲解过程中给学生渗透法制教育，廉政教育

过程与方法目标：

1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛的应用，体会建立函数模型的思维过程

2.在讲民间借贷利率的计算及人口问题，向学生拓展金融法及计划生育法

情感、态度与价值观目标：

1.让学生体会“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心

2.培养学生的应用意识，创新意识和探究精神，优化学生的理性思维和求真务实的态度 3.领悟认知来源于实践又服务与实践

二 教材分析

本小结教材有四个例题共两个课时，本节课主要学习指数型函数模型

本节课的教学重点：建立函数模型解决实际问题

三 学情分析

学生在上一节课《几类不同增长的函数模型》的学习中初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，但学生的应用意识，应用能力较弱，且本节课难度加强了。

本节课的难点：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字、图表语言向符号语言的转化，

且计算量很大，要借助于计算器

四

教学过程

（1）新课引入

我们已经学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数模型，知道了它们可以用来刻画现实世界中不同的变化规律。上一节课已学习了几类不同增长的函数模型，本节课继续研究贷款复利的计算、人口增长、生物体内碳14的衰变等规律，这些都可以用指数函数模型来描述。在本章中指数函数模型的应用是最重要的函数模型应用，因此很有必要把这类函数模型的应用单独来进行探究。

（2）新课讲解

问题一：高利贷问题

材料阅读：95后的女大学生校园贷30万本金需还50万，父亲卖房还债

95后女生小于（化名）向多个校园平台借款本金30万元，并部分提供“裸条”担保。如今，利滚利，小于要偿还借贷平台总计本息达50多万元。相关借贷“裸条”被发至网络。为此，她精神濒临崩溃，无奈之下，小于父亲只能将家里仅有的住房挂在网上售卖，“填坑”还债。

很多贷款公司周利率高达30%，明显违法，又是谁放纵了这些伸向校园的“黑手”呢？

1、民间借贷利率超过银行同类贷款利率四倍的，超过部分法律不保护；

2、民间借贷只要利率在银行同类贷款利率四倍（含四倍）以内的，受法律保护；

3、最高人民法院1991年制定的《关于人民法院审理借贷案件的若干意见》第6条规定：“民间借贷的利率可以适当高于银行的利率，各地人民法院可以根据本地区的实际情况具体掌握，但最高不得超过银行同类贷款利率的四倍（含利率本数）。超出此限度的，超出部分的利息不予保护。”

民间借贷一般都是4分利左右，这里假设月息2分利，也就是月利率为2%

1.私人间（亲戚，朋友）的借贷，用单利计算利息，银行存款就是单利法

利息=本金×利率×期限

一年利息=10000×2%×12= 2400元

2.高利贷公司，用复利计算利息，也就是利滚利

复利计算利息，公式为： F=P×(1+i)N(次方) F：复利终值 P：本金 i：利率 N：利率获取时间的整数倍

本利和=10000×(1+2%)^12= 12682.42元 一年利息=12682.42-10000= 2682.42元

例1、某民营企业为了扩大生产规模，购买设备，向民间贷款公司贷款100万，双方协议利率为2%，按月计算，用复利计算利息（即利滚利），期限一年，请同学们帮助该企业作出预算，到期需付本息和为多少？

解：复利计算利息，公式为：

F=P×(1+i)N(次方) F：复利终值 P：本金 i：利率 N：利率获取时间的整数倍

本利和=1000000×(1+2%)^12= 1268242元 一年利息=1268242-10000= 268242元

问题二：人口增长问题

材料阅读：1、两个世纪以前，英国经济学家马尔萨斯（Thomas Malthus）指出，中国历史上的人口增长是一种没有节制的自然增长，它将导致粮食的短缺、生存条件的恶化和人民的贫困。马尔萨斯认为：由于一对夫妻在生育没有控制时不止生两个子女，人口将以几何级数增长；而土地面积的扩大和农作物产量的提高都是缓慢和有限的，粮食只能以算术级数增长。因此，一个社会要避免粮食和人口关系的危机，只有抑制人口的增长。在马尔萨斯看来，17至18世纪西欧人通过晚婚和独身对婚姻进行了限制，减缓了人口的生育，形成了从人口体系内部来对人口增长的自愿的、有道德的“预防性抑制”（Preventive check）；而中国不仅存在着没有限制的婚姻，而且还存在着没有节制的生育，因此，对中国人口增长的抑制主要是来自于人口体系外部非自愿的、罪恶性的“现实性抑制”，例如战争、饥荒和传染病。

2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口人数，r表示人口年平均增长率。

3、下表是我国1950——1959年的人口数据资料：

年份

人数（亿）

96

00

82

96

66

56

28

63

94

例2、阅读上面材料1、2、3、请求下面几个问题？

（1）计算：在材料3中，以1950年为基数，从1951年到1959年求出这9年的各年人口增长率的平均值r？（精确到0.0001）

（2）建立我国这一时期的马尔萨斯人口增长函数模型.(其中的r就是(1)中所求得的)

（3）用几何画板画出(2)中所求的函数图象,,并检验所得的函数模型与实际人口数据是否相符.

(4)如果按照上表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?

07

1950

5.511951

5.631952

5.741953

5.871954

6.021955

6.141956

6.281957

6.451958

6.591959

6.72r t

设计意图：让学生了解人口增长的马尔萨斯函数模型，学会探索函数的模型以及检验模型，同时让学生知道我国控制人口的重要性。

师生互动1:教师引导学生先求从1951年到1959年各年的人口增长率分别是多少?再求出这9年的年均增长率是多少?

设1951年到1959年各年的人口增长率分别是,同理可得增长率.

师生互动2:学生不难得到我国这一时期的马尔萨斯人口增长函数模型为

,由

各值(略写),然后计算得这9年的年均y=5.5196e0.0221t, (0≤

t ≤10).

师生互动3：教师引导学生在所求得的函数模型中令y=13，则得到

13=5.5196e0.0221t,由对数可以计算出t≈38.76，即t=39年，在1989年我国人口将达到13亿。实际上我国人口到2000年才达到13亿。再让学生分析一下我国实行计划生育的重要性。

问题三：长沙马王堆千年女尸之迷问题

材料阅读：1、据新华社1972年7月30日报道，一座距今2100多年的西汉早期墓葬在湖南长沙市郊的马王堆出土。在这座古墓葬里，尸体、官椁及大批的随葬物，都保存得比较完整，是我国考古发掘工作中一项极为罕见的重要发现。这对研究西汉初期的历史、文化、手工业生产、工农业生产以及医药、防腐等方面都有极重要的价值。尸体出土时，全身裹着20层丝绸衣服，半身浸泡在略呈红色的溶液里。出土后，经医生的解剖检验，证

明女尸不但外形完整，而且内脏器官也是完整的。尸体的皮下结缔组织还有弹性。股部动脉的颜色，几乎跟刚死去的尸体一样。给她注射防腐剂时，皮、肉、血管等软组织，随着药水所到而鼓起，然后通过微血管扩散。估计女尸死亡年龄在50岁左右。食道和胃里还保存着几颗甜瓜子。从各方面的病理查明，死者生前患有多种疾病，胆绞痛引起冠心病发作，似乎是导致猝死的原因。马王堆中的女尸为什么经历2000多年而不腐烂呢?原来这与墓葬的严密结构密切相关。女尸由三层椁和三层棺装殓，这已经够严密的了。椁的四周以及上部又填塞了一尺厚的木炭，用来吸水防渗。木炭外面还包着一层透水性极小的二三尺厚的白膏泥，形成密封状态。这样就造成了一个恒温、恒湿、缺氧、无菌的环境，对于女尸的不腐不烂起了决定性的作用。

2、科学研究表明：宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合成二氧化碳形后进入所有活组织，先为植物吸收，后为动物纳入。只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便以5730年的半衰期开始衰变并逐渐消失。对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代。因此碳14的衰变极有规律，其精确性可以堪称自然界的“标准时钟”。

例3：科学研究表明：现代的人与远古的人活着的时候体内碳14的含量是一样的。阅读上面的材料，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始量的76.7%。请你计算一下马王堆汉墓的大致年代？

设计意图：1、让学生了解马王堆汉墓女尸的大致情况，提高学生学习数学的热情。

2、激发学生的求知欲，以及培养学生的科学探究精神。

师生互动1：教师引导学生阅读材料1、2，并说明什么是半衰期。并提出问题：推算生物死亡t年后，每克组织中的碳14含量为多少？

师生互动2：设问：设生物死亡时，体内每克组织中的碳14含量为1，1年后的残留量为x，生物死亡t年后，每克组织中的碳14含量为多少？让学生进行探索如下：列表如下：

死亡年数t

碳14含量P

1

2

3

4

…

…

t

师生互动3：在学生得出P=x后，问当t=5730年时，P为多少？能否求出x的值？

t…

…

学生列出式子：，即得：。

师生互动4：下面请同学们自己利用所学的知识计算出马王堆汉墓的大致年代?

学生都很积极地进行计算如下:

即大致年代是2193年

思考题：武汉市市政府鼓励市民节约用水

武汉市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.

（1）求y关于x

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

（3）总结归纳：

回顾解题过程，总结函数应用的基本步骤

推理演算

还原说明

实际问题的解

（4）课后作业：

书本第104页的练习题，第106页的练习题

还原说明

数学模型的解

实际问题

抽象概括

数学模型

（5）设计反思

自我评价：

（1）本节课最大的亮点是利用阅读材料，丰富了教材，满足了学生的求知欲，极大地激发了学生的科学探究精神，且潜移默化地让学生学习了国家的法律法规，这也是新教材的创新改革亮点之一。

（2）课堂上不能专门为了应试而教学，更重要的是提高学生的自我素质，本节课的另一个亮点是：培养学生的自学探究能力。

（3）对课本上第103页例4：关于人口增长的马尔萨斯函数模型应用的例子加以改造、补充，笔者更好地提出了分层次的四个问题，这样就分散了难点，学生探究就比较轻松。我们反对那些只让学生阅读，教师自己不深入挖掘，便匆匆完成，造成学生一知半解，更严重的是学生会对应用题产生恐惧感。

（4）本节课不足之处是内容容量大，解决的方法是：把阅读材料作为前一天的作业，先让学生阅读，这样有利于课堂上时间的把握。