习题3.1教学设计思路

第八节

函数与方程

一、近5年全国卷高考出题情况

高考试题

核心考点

考查内容

核心素养

难度系数

解题方法

2017年全国3卷12题

二、考纲内容 函数与方程

函数的零点与性质

数学运算

难

化归与转化

（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 三、自主学习、知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【知识拓展】

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

四、明考向、题型分类、突破方法

类型一：判断函数的零点所在的区间和零点的个数

1

例1、函数零点所在区间的判断

(1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在区间为(

) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)函数f(x)＝x－3x－18在区间[1,8]_______(填“存在”或“不存在”)零点. [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：

1、从函数角度思考：图像与零点存在性定理； 2、从方程角度思考：求根与转化为初等函数图像的交点问题。 1x－2[变式训练1]

已知函数f(x)＝ln x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 变式训练2、方程lnx1220，x0的根存在的大致区间是（

）

x例2判断函数零点的个数

(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 (2)(2017·秦皇岛模拟) lnxx22x,x0函数f(x)的零点个数是________．

4x1,x0[规律方法]

判断函数零点个数的方法：

(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

πx＋－x2的零点个数为________．

[变式训练2]

(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsin22、方程|x－2x|＝a＋1(a>0)的解的个数是（ ） A.1

B.2

C.3

D.4

类型二、零点性质的应用

例3(2017·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．

[规律方法]已知函数有零点求参数取值范围常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

2

22

2[变式训练3] (1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(

) xA．(1,3)

B．(1,2)

C．(0,3)

D．(0,2) |x|，x≤m，(2)(2016·山东高考)已知函数f(x)＝2其中m>0.若存在实数b，使得关x－2mx＋4m，x>m，

于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

(3)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________.

五、课堂小结

1、与函数零点有关题目方法： （1）直接利用函数图像与X轴交点情况； （2）研究对应方程根的情况或是初等函数（易做函数的图像）的交点个数问题。 2、本节课的主要数学思想 （1）函数与方程 （2）数形结合 （3）化归转化

3、易错与防范

1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．

2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

六、作业布置：分层集训

2017年9月10日

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