阅读与思考 对数的发明课件配套优秀

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研究性学习课题（数学）

1、对数发明的背景

16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。

德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即

sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 , cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 . 大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：

sin67°34'×sin9°3' ＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3') ＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2 ＝[0.52225052-0.23146492]/2 ＝0.14539280 这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sinβ=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大n于1的数可用小于1的数乘上10

表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。

2、对数产生的前奏

请你观察下面两个数列,并找出规律: 1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096，8192，16384⋯⋯

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， 13， 14⋯⋯

德国数学家Stifel (1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为

“原数”, 下排的数为“代表数” (德文Exponent) , Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数” 4、1024的“代表数” 10之和4+10=14，再查出与“代表数” 14相对应的“原数” 16384，就得到16×1024的乘积。实际上, Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数。

说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2，

2, 2

2

⋯⋯

0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，

11，

12，

13 14 ⋯⋯

则16×128实际上就是2×2＝2＝2＝2048。

此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算17951235×0.08304115,设XYXYX+Y17951235＝a, 0.08304115＝a，则17951235×0.08304115＝a

×a＝a。

这里x是17951235的(以a为底的)对数，y是0.08304115的(以a为底的)对数。底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg 17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.17338768726.1733876872的(以10为底的)指数函数，10＝1490691.1983就得到了17951235的乘积。

这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念，人们还完全想不到这样的原理。Stifel尝试做任何两个数乘除时，遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。

3、对数的发明

对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。这让他在数学史上被重重地记上一笔。1616年Briggs(亨利·布里格斯，1561–1630)去拜访Napier，建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜Napier隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用474+711０1234567891011121314

对数。

对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆。开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。今天，随着计算机的迅猛发展，对数表、计算尺就像过时的法律一样被废弃了，但对数与指数本身已成为数学的精髓部分，也是每一个中学生必学的内容。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在log2=0.3010中，2叫做“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表。后来

“真数”改称为“底数”，

“假数”改称为“对数”。 当今中学数学教科书是先讲“指数”，后以反函数形式引出“对数”的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。Briggs曾向Napier提出用幂指数表示对数的建议。

最早使用指数符号的是法国数学家Descartes (笛卡尔，1596～1650)，他n于1637年用符号a表示正整数幂。分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师Stevin，以后又有人将其扩展到负指数，直到X18世纪初英国数学家Newton(牛顿，1642～1727)开始使用a表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数． 一直到18世纪，瑞士数学家Euler (欧拉，1707～1783)才发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们接受．

4、Napier发明对数的思想方法

假设有两个质点P和Q分别沿着线段AB和射线CD,以同样的初速运动,其中质点Q沿直线CD匀速运动,而质点P在线段AB上任何一点的速度等于它到

端点B的距离。Napier定义CQ为PB的

对数。也就是说，设X=CQ为Y=PB,则X＝NaplogY（Naplog是纳皮尔对数的符号）。

当P和Q从A和C出发时，其初速度的数值等于线段AB的长度(设为Y0)，此后在相等时间间隔情况下，时刻t1,t2,t3,t4⋯时,

Q位于C1,C2,C3,C4⋯，P位于A1,A2,A3,A4⋯。由于Q沿CD做匀速运动，C,C1,C2,C3,C4是等距的，与端点C的距离形成等差数列（0,Y0△t,2Y0△t,3Y0△t,4Y0△t,⋯），而A,A1,A2,A3,A4,⋯与端点2B的距离形成等比数列（Y0,Y0(2-△t)/(2+△t),Y0[(2-△t)/(2+△t)],Y0[(2-△t)/(2+△34t)],Y0[(2-△t)/(2+△t)],⋯）。

X与Y的关系：Y＝Y0[(2-△t)/(2+△t)则可得到Y＝Y0（1/e）X/Y0 1/(Y0△t)X]。

1/△t根据微积分理论，△t→0时，(2-△t)/(2+△t)

＝1/e, Napier认为，质点运动的时间间隔△t应尽量小，他选择了(2-△t)/(2+△t)-77＝1-10＝0.9999999，相应△t＝2/(2×10-1)），为了避免小数的麻烦,他又规定

Y0＝10,于是得到纳皮尔对数X＝Nap㏒Y＝107㏑(107/Y) Napier的核心思想是从等差数列与等比数列的关系中定义对数, Napier没有底的概念。他从连续的几何量出发，定义的对数是连续的. 由数列定义的对数是离散的。

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