习题2.2教学设计案例

对数函数教案

一、教学目标

（1）函数ylogax(a0,a1),叫对数函数，其定义域为（0，+∞），值域是R．

（2）结合图象，熟练掌握对数函数的性质．

（3）熟记ylog2x,ylog1x以及ylgx的图象及相互关系，并通过图象掌握对2数的单调性，注意底对图象的影响．

（4）比较两对数值的大小时，应根据对数函数的单调性，对照对数函数的图象进行判断．

二、重点难点突破

（1）对数函数与指数函数互为反函数，学习时要互相对照、互相比较，以加深理解．

（2）记忆对数函数的图象的性质时，应分a＞1和0＜a＜1两种情况．

（3）注意分界点（1，0），它决定函数值的正负．

三、热点考题分析

例1．求函数ylog1x124x1的定义域．

1x41114x10解：logx1

即x

∴函数的定义域为{x\0x且x}.

1242x02x0点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式．

例2．比较下列各组数的大小，并说明理由．

（1）log10.7与log10.8．

（2）log8与log83.

（3）log0.6331与log0.83.

4解：（1）011,ylog1x是减函数，log10.7log10.8.

3333

（2）18,ylog8x是增函数，log8log83.

（3）log0.6110,log0.830,log0.6log0.83.

44教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函

数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三个数以上比较大小，0和1

是两把尺度。

例3．求函数ylog2(x25x6)

定义域、值域、单调区间．

解：定义域为x5x60x3或x2.

251ux25x6(x)2

（x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略）

240＜u＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）．

原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）．

学生演板：

（1）已知f（x）的图象g（x）=()的图象关于直线y=x对称，求f(2xx2)的单调减区间．（先求g（x）=()的反函数f(x)g1(x)log1x,f(2xx2)log1(2xx2),

4414x14x单调减区间为（0，1]）

例4．设函数f(x)11xlg.

x21x1

（1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明；

（2）若f（x）的反函数为f(x)，证明方程f1(x)=0有唯一解．

分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断．（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数．

1x01x解：（1）由

解得函数f（x）的定义域为（-1，1）．

x20设1x1x21,则f(x1)f(x2)(1x21x111)(lglg)

x12x221x21x1=x1x2(1x1)(1x2)

lg(x12)(x22)(1x1)(1x2)x1x20,

(x12)(x22)又(x12)(x22)0,x1x20,又（1+x1)(1x2)0,(1x1)(1x2)0,

0(1x1)(1x2)1x1x2x1x2(1x1)(1x2)1lg0.

(1x1)(1x2)1x2x1x1x2(1x1)(1x2)

f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1).

故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数．

（2）这里并不需要先求出f（x）的反函数f1(x)，再解方程f1(x)0.

f(0)若方程f111,f1()0,即x是方程f1(x)0的一个解．

2221(x)0还有另一解x01,则f1(x0)0.又由反函数的定义知f(0)x0

212这与已知矛盾．

故方程f1(x)0有唯一解．

教师点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握．可先用数字试探

一下，以便做到心中有数．（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反

函数）

（2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数

定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我

们甚至可以求解不等式；

f[x(x)]121.请读者自己完成．

2例5．若函数f(x)log1(x2ax1)

2（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围．

（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．

（3）若函数在(,13)上是增函数，求a的取值范围．

解：（1）定义域为R，是指不等式xax10的解集为R，即a40

222a2.

（2）值域为R，是指uxax1能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需

2a240即a2或a2.

（3）u(x)x2ax1在(,13)上为减函数且大于0，由图象可知：

2(13)a(13)1013312(13)a.

a1322教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R．值域为R指对数函数的真数

能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负

数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细

研究．在（3）中特别要注意在区间(,13)上函数大于0．

x2例6．已知函数f(x1)logm

(m0,且m1)

22x2（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）解关于x的方程f(x)logm1;

x（3）解关于x的不等式：f(x)logm(3x1)

解：（1）设x21t,则

f(x)logm

f(x)logmx21t,f(t)logm1t1tlogm,

2(1t)1t1x,它的定义域为（-1，1）．x(1,1),x(1,1),

1x1(x)1x1x1

logmlogm()f(x),∴f（x）为奇函数．1(x)1x1x1x11xx11x11xx12

logm,得0

（2）由f（x）=logm,即logm0x1xxx1x110x

x12.

（3）由f(x)logm(3x1)即logm1xlogm(3x1)得：

1x1x3x1解得：1x0或1x1.

（a）当m＞1时，1x333x10

1x3x111x

（b）当0m1时，

解得：0x.

31x01x由（a）、（b）知，当m＞1时，原不等式解集为{x|11x0或x1}

33教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式．要注意对底数m的讨

论．

四、课堂练习

（1）求函数f（x）=x24的定义域. 2lg(x2x3)（定义域为{x|x15或15x3或x2})

（2）定义在全体实数上的奇函数f(x)a1,要使f1(x)1,求x的取值范围．

x2111((,))

26（4）若yloga(2ax)在区间[0，1]上是减函数，求a的取值范围．（（1，2））

五、高考试题分析

1x（1）设函数f(x)2

x(,1]，则满足f(x)的x值为

．

log81xx(1,)4答案：3 分析：当x(,1]时，值域为[,),当x(1,)时值域为（0，+∞）

1211

y,y(0,),此时x(1,),log81x,x8143.

44（2）设集合A={x|2lgxlg(8x15),xR},B{x|cos

则AB的元素个数为

．

答案：1 1x0,xR},

2x0x0153分析：集合A：8x150xx3或x5.又x3时,cos,

22x8x15x288x15031.5

22355

cos0.而x=5时，,cos0,AB的元素个数为1．

2222

0（3）解方程：lg(x4x26)lg(x3)1.

答案：x35.

2230x4x260x2分析：x30解得：x35(舍去),x35.

x4x26210x4x2610x3x3点评：本题主要考查对数方程的解法，属常规题，对等价转化思想有较高的要求．

六、考点检测

（1）若1＜x＜2，则下列不等式中正确的是（

）

（A）2log1x3x（B）22xx3xlog1x（C）3x2xlog1x

22

（D）log1x3x2

2x（2）函数ylog0.5(4xx2)的值域为（

）

（A）[2,]

（B）R

（C）[0,]

（D）(0,4]

（3）函数ylogax在x[2,)上恒有|y|＞1，则a的取值范围是

．

（4）设a、b为正数，若lg(ax)lg(bx)10有解，则a的取值范围是

．

b2x3x9xC（5）已知函数f(x)lg在(,1]有上意义，求实数C的取值范围．

7（6）设f(x)loga(x（a）求f1x22)的反函数是f1(x)

（其中a＞0，且a≠1）

(x)，并求出它的定义域．

121，求a的取值f(nloga2),若P(n)(3n3n)

nN*）22（b）设P(n)范围．