信息技术应用 借助信息技术方程的近似解公开课教案（教学设计）

用二分法求方程的近似解

求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程的解。但有些方程求精确解较难，本课试图从另一个角度来求方程的近似解。说求方程的近似解倒不如说是逼近解。本课重点是学习一种思维。

1、

教学目标

1.1 知识目标：

理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

1.2能力目标：

体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；

让学生能够初步了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

1.3情感、态度与价值观

正面解决问题困难时，可以通过迂回的方法去解决。

2、

教学重点

能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。

3、教学难点

对二分法的理论支撑的理解。

4、教学方法 实例导入推出课题实践探究总结提炼学生感悟（总结、反思）

5、教具

多媒体课件

6、教学过程

…………………………………………………………………………………………………

一、

创设情景，引入新课

师：大家先来看一段录像（放映CCTV2幸运52片段）

支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。下一件……

师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？

生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。

生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……

生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……

师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢？

生：（齐答）按照生3那样来检测。

师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。

二、讲解新课

师：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？

（多媒体）能否求解方程式lgx3x;x22x10;x33x10?

生4：方程x2x10的解可用求根公式来解。

师：不解方程，当然也不许用求根公式，如何求方程x2x10的一个正的近似解？（精确到0.1）

（探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式）

1、

学生先自行探求，并进行组织交流。

（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）

①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)= x2x1的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(2)<0,f(3)>0,可得出根所在区间(2,3)；

②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；

③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；

④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；

⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。

2、

学生简述上述求方程近似解的过程。

（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）

（思考，解决。问题激励，语言激励）

（生推导，师欣赏，鼓励学生，生口答，得出）

生5：设f(x)x22x1,先画出函数图象的简图 ，

因为f(2)10,f(3)20,所以在区间(2,3)内，

方程x22x10有一解，记为x1；222f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5), f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5),

f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5),

f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375),

因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以方程的近似解为x12.4

3、

揭示二分法的定义。

指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。

例题剖析

（多媒体）例1. 根据表格中的数据，可以断定方程ex20的一个根所在的区间是（ ）

x -1 0 1 2 3 x此ex

x+2 0.37 1 1 2 2.72 3 7.39 4 20.09 5 A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 师：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？ 生6：f(m)f(n)0x(m,n),

师：有了这个依据，本题应选什么？为什么？

生7：设f(x)exx2,f(1)0,f(2)0即f(1)f(2)0x(1,2),故选C

师：现在，判断某根所在区间有哪些方法？

生8：画图或利用函数值的正负来判断。

例2. 利用计算器，求方程lgx3x的近似解。（精确到

0.1）(本例鼓励学生自行尝试，即能否利用二分法来求解本例，此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣)（让学生思考片刻）

师：估计方程的根在什么范围内？

生：（无语）

师：（启发，师微笑着说）判断某根所在区间的方法是---（部分学生跟着说出方法）

那，现在我们可以画出哪些函数的图象？

生9：作：y=lgx，y=3-x的图象；

师：你们发现了什么？

生（齐答）：图象有一个交点；

师：这意味着什么？

生：在两个函数图象的交点处，函数值相等。因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解。从图象上可以发现，这个方程有惟一解，且在区间（2，3）内。

师：判断出了根所在区间后接下去怎么办？

生：利用函数；

师：哪个函数？怎么算出近似解来？

生10：设f(x)lgxx3,用计算器，得f(2)0,f(3)0x(2,3),f(2.5)0,f(3)0x(2.5,3),f(2.5)0,f(2.75)0x(2.5,2.75)

f(2.5)0,f(2.625)0x(2.5,2.625),

f(2.5625)0,f(2.625)0x(2.5625,2.625), 因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x2.6 师：在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上，引导学生归纳二分法求解方程 f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤：

①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0；

②求区间(a,b)的中点x1(x1ab)；

2③计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(x)=0的根，计算终止；

若f(a) f(x1)0，则选择区间（a, x1）；

若f(a) f(x1)0，则选择区间（x1，b）；

④循环操作②、③，直到当区间的两端点精确到同一个近似值时才终止计算。

（通过归纳总结，能够完善学生的认知结构）

精确到0.1）（多媒体）练习：1）求方程x3x10的一个正的近似解？（

3

2）求方程2x4的近似解？（精确到

0.1） 3）用二分法判断方程2x的根的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4)方程lg(x4)10x的根的情况是( ) A.仅有一根 B.有一正根一负根

C.有两负根 D.无实根

（全班共四组，第一、二组做练习1）、3）；三、四组做练习2）、4）。）

（目的：让学生进一步巩固掌握二分法求近似解的操作步骤及其应用）

思考：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？

（此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识）

三、课堂小结

师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？

（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）

1、

二分法是一种求一元方程近似解的通法。

2、

利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。

3、

可以利用函数的图象来判断方程根的个数。

四、布置作业

必修1习题3、4、5 8、教学后记

本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构。

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