阅读与思考 中外历史上的方程求解优质教案设计

课

题：§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

【知识与技能】了解函数零点的概念，理解方程的根与函数的零点的关系；理解图象连续的函数存在零点的判定方法，并能进行简单的应用。

【过程与方法】在探究方程的根与函数的零点的关系，图象连续的函数存在零点的判定方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，培养学生的辨证思维。

教学重点：方程的根与函数的零点的关系；图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。

教学难点：图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。

教具准备：直尺

Powerpoint 2003课件

几何画板4.07课件

学具准备：计算器

教学方法：问题探究法

教学过程设计：

一、创设情境：

问题引入：求方程3x25x10的实数根。

变式：求方程3x55x10的实数根。

数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题。

二、新知探究：

1．零点的概念：

问题1：求方程x22x30的实数根，并画出函数yx22x3的图象。

1，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与x轴两个交点的横坐标。这样1，3就把函数与方程联系到一起了，在方程里，1，3叫做方程的实数根，在函数里，它能够使得函数值为0，我们就称它为函数的零点。

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero

point）。

设计意图：以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台，观察方程和函数形式上的联系，得出函数零点的概念。

问题2：求函数yx22x1和函数yx22x3的零点。

结论：函数yf(x)的零点是个实数，是方程f(x)0实数根，是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标（学生可能认为零点是个点，在这里要强调）。

问题3：探究一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根和对应的二次函数（填下面表格）

f(x)ax2bxc(a0)的零点及图象与x轴交点的关系。b24ac

方程的实数根

0

bb24ac

bb24ac

x2x12a2a0

x1x2b

2a0

无实数根

1

函数图象与x轴的交点

函数的零点

(x1,0)，(x2,0)

(b,0)

2ab

2a无交点

无零点

x1，x2

结论：方程f(x)0有实数根x0函数yf(x)的图象与x轴有交点(x0,0)函数yf(x)有零点x0。

设计意图：通过对一般形式一元二次方程和对应的二次函数的研究，进一步理解方程的根与函数的零点的关系。

2．函数零点的判定：

问题4：观察二次函数f(x)x22x3的图象，在区间[2,1]上，函数值f(2)和f(1)的积与0的大小关系如何？函数f(x)x22x3在(2,1)是否存在零点？

在区间[2,1]上，f(2)f(1)0，函数在区间(2,1)上存在零点1。

问题5：观察二次函数f(x)x22x3的图象，在区间[1,4]上，函数值f(1)和f(4)的积与0的大小关系如何？函数f(x)x22x3在(1,4)是否存在零点？

在区间[1,4]上，f(1)f(4)0，函数在区间(1,4)上存在零点3。

设计意图：通过对二次函数图象的分析，进一步探究函数在某个区间上存在零点的条件。

通过以上探究，让学生自己概括出对于一般的函数yf(x)在区间[a,b]上满足什么条件就存在零点？

零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

（1）函数图象连续不断，端点函数值异号，函数一定存在（至少有一个）零点。

问题6：若函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，一定有f(a)f(b)0吗？

不一定，如f(x)x22x3，可以发现在区间[2,4]上有零点，但f(2)f(4)0。

（2）函数存在零点，端点函数值不一定异号。

设计意图：使学生准确理解零点存在性定理，强调结论不能随便改动。

三、新知应用与深化：

例1

观察下表，分析函数f(x)3x55x1在定义域内是否存在零点？

x

0 1 2 －2 －1 f(x)

7 105 －107 －9 －1 分析：函数f(x)3x55x1图象是连续不断的，又因为f(0)f(1)0，所以在区间(0,1)上必存在零点。我们还可以通过几何画板作图帮助了解零点大致的情况。

设计意图：初步应用定理来判断函数零点存在问题。引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x,f(x)的对应值表，来寻找函数值异号的区间；还可以借助几何画板作出函数的图象分析零点问题，并对函数有一个零点形成直观认识，为例2判断函数零点的个数作好准备。

2